Номер 156, страница 83 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

156. Докажите, что данное уравнение является уравнением окружности, и укажите координаты центра и радиус этой окружности:

1) $x^2 + y^2 + 6x - 14y - 5 = 0;$

2) $x^2 + y^2 + x = 0.$

156. Докажите, что данное уравнение является уравнением окружности, и укажите координаты центра и радиус этой окружности:

1) $x^2 + y^2 + 6x - 14y - 5 = 0$;

2) $x^2 + y^2 + x = 0$.

Общий вид уравнения окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$. Чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением окружности, необходимо привести его к этому виду с помощью метода выделения полного квадрата.

1) $x^2 + y^2 + 6x - 14y - 5 = 0$

Сначала сгруппируем слагаемые, содержащие $x$ и $y$:

$(x^2 + 6x) + (y^2 - 14y) - 5 = 0$

Теперь дополним каждое выражение в скобках до полного квадрата, используя формулы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Для выражения с $x$: $x^2 + 6x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат, необходимо добавить и вычесть $3^2=9$.

$(x^2 + 6x + 9) - 9 = (x+3)^2 - 9$

Для выражения с $y$: $y^2 - 14y = y^2 - 2 \cdot y \cdot 7$. Чтобы получить полный квадрат, необходимо добавить и вычесть $7^2=49$.

$(y^2 - 14y + 49) - 49 = (y-7)^2 - 49$

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$(x+3)^2 - 9 + (y-7)^2 - 49 - 5 = 0$

Перенесем все числовые слагаемые в правую часть уравнения:

$(x+3)^2 + (y-7)^2 = 9 + 49 + 5$

$(x+3)^2 + (y-7)^2 = 63$

Полученное уравнение является каноническим уравнением окружности, так как $R^2 = 63 > 0$.

Из этого уравнения находим координаты центра $(a; b) = (-3; 7)$ и радиус $R = \sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$.

Ответ: уравнение задает окружность с центром в точке $(-3; 7)$ и радиусом $3\sqrt{7}$.

2) $x^2 + y^2 + x = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + x) + y^2 = 0$

Дополним выражение в скобках до полного квадрата. Для этого представим $x$ как $2 \cdot x \cdot \frac{1}{2}$:

$x^2 + x = (x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 = (x+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

Выражение с $y$ уже является квадратом: $y^2 = (y-0)^2$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(x+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + (y-0)^2 = 0$

Перенесем числовое слагаемое в правую часть:

$(x+\frac{1}{2})^2 + (y-0)^2 = \frac{1}{4}$

Полученное уравнение является каноническим уравнением окружности, так как $R^2 = \frac{1}{4} > 0$.

Координаты центра окружности $(a; b) = (-\frac{1}{2}; 0)$.

Радиус окружности $R = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: уравнение задает окружность с центром в точке $(-\frac{1}{2}; 0)$ и радиусом $\frac{1}{2}$.