Вариант 3, страница 35 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Динамика. Контрольная работа. Динамика - страница 35.

Условие.

Вариант 3

1. Брусок массой $ ext{m}$ соскальзывает по наклонной плоскости. Как изменятся его ускорение и сила нормального давления на плоскость при увеличении массы бруска в 2 раза? Для каждой величины определите соответствующий характер изменения и запишите его номер.

1) увеличится

2) уменьшится

3) не изменится

2. На горизонтальной поверхности находится брусок массой 500 г. На брусок действует сила 2 Н, направленная вверх под углом $60^\circ$ к горизонтали. Брусок движется прямолинейно и равномерно. Определите коэффициент трения.

3. Определите изменение силы гравитационного взаимодействия двух тел, если масса каждого тела и расстояние между телами увеличатся в 2 раза.

4. Два маленьких шарика массами 80 г и 60 г связаны нитью длиной 6 см и могут свободно без трения перемещаться по спице. Система вращается в горизонтальной плоскости, при этом шарики остаются неподвижными относительно спицы. На каких расстояниях от оси вращения располагаются шарики?

Решение.

1. Рассмотрим силы, действующие на брусок на наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси, направленные перпендикулярно и параллельно наклонной плоскости.

Ось, перпендикулярная плоскости (OY): $N - mg \cos\alpha = 0$, отсюда сила нормального давления $N = mg \cos\alpha$.

Ось, параллельная плоскости (OX): $mg \sin\alpha - F_{тр} = ma$, где $F_{тр} = \mu N$ - сила трения.

Подставим выражение для силы нормального давления $\text{N}$ в уравнение для оси OX:

$mg \sin\alpha - \mu (mg \cos\alpha) = ma$

Сократим массу $\text{m}$ в левой и правой частях уравнения:

$g \sin\alpha - \mu g \cos\alpha = a$

Ускорение:

Из полученной формулы $a = g(\sin\alpha - \mu \cos\alpha)$ видно, что ускорение бруска не зависит от его массы $\text{m}$. Следовательно, при увеличении массы бруска в 2 раза его ускорение не изменится.

Сила нормального давления:

Сила нормального давления определяется формулой $N = mg \cos\alpha$. Она прямо пропорциональна массе бруска $\text{m}$. Если массу увеличить в 2 раза ($m' = 2m$), то новая сила нормального давления будет $N' = (2m)g \cos\alpha = 2(mg \cos\alpha) = 2N$. Следовательно, сила нормального давления увеличится в 2 раза.

Ответ: Ускорение – 3 (не изменится); Сила нормального давления – 1 (увеличится).

2. Дано:

$m = 500 \text{ г}$

$F = 2 \text{ Н}$

$\alpha = 60^\circ$

$v = \text{const} \implies a = 0 \text{ м/с}^2$

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

$m = 500 \text{ г} = 0.5 \text{ кг}$

Найти:

$\mu$ – коэффициент трения.

Решение:

Поскольку брусок движется равномерно ($v = \text{const}$), его ускорение равно нулю. Согласно первому закону Ньютона, векторная сумма всех сил, приложенных к телу, равна нулю. На брусок действуют: сила тяжести $F_g = mg$ (вниз), сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ (вверх), приложенная сила $\text{F}$ (под углом $\alpha$ к горизонту) и сила трения скольжения $F_{тр} = \mu N$ (горизонтально, против движения).

Запишем уравнения равновесия сил в проекциях на вертикальную (OY) и горизонтальную (OX) оси. Разложим силу $\text{F}$ на компоненты: вертикальная $F_y = F \sin\alpha$ и горизонтальная $F_x = F \cos\alpha$.

Сумма проекций сил на ось OY: $N + F_y - mg = 0 \implies N = mg - F \sin\alpha$.

Сумма проекций сил на ось OX: $F_x - F_{тр} = 0 \implies F \cos\alpha - \mu N = 0$.

Из второго уравнения выразим коэффициент трения $\mu$:

$\mu = \frac{F \cos\alpha}{N}$

Подставим в это выражение формулу для $\text{N}$ из первого уравнения:

$\mu = \frac{F \cos\alpha}{mg - F \sin\alpha}$

Подставим числовые значения:

$\mu = \frac{2 \cdot \cos(60^\circ)}{0.5 \cdot 10 - 2 \cdot \sin(60^\circ)} = \frac{2 \cdot 0.5}{5 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{5 - \sqrt{3}} \approx \frac{1}{5 - 1.732} = \frac{1}{3.268} \approx 0.306$

Ответ: $\mu \approx 0.31$

3. Сила гравитационного взаимодействия между двумя телами определяется законом всемирного тяготения Ньютона:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

где $\text{G}$ – гравитационная постоянная, $m_1$ и $m_2$ – массы тел, а $\text{r}$ – расстояние между ними.

По условию задачи, масса каждого тела и расстояние между ними увеличиваются в 2 раза. Новые параметры будут:

$m'_1 = 2m_1$

$m'_2 = 2m_2$

$r' = 2r$

Вычислим новую силу взаимодействия $F'$:

$F' = G \frac{m'_1 m'_2}{(r')^2} = G \frac{(2m_1)(2m_2)}{(2r)^2} = G \frac{4 m_1 m_2}{4 r^2} = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

Сравнивая начальную и конечную силы, видим, что $F' = F$.

Ответ: Сила гравитационного взаимодействия не изменится.

4. Дано:

$m_1 = 80 \text{ г}$

$m_2 = 60 \text{ г}$

$L = 6 \text{ см}$

$m_1 = 0.08 \text{ кг}$
$m_2 = 0.06 \text{ кг}$
$L = 0.06 \text{ м}$

Найти:

$r_1, r_2$ – расстояния от шариков до оси вращения.

Решение:

Поскольку шарики вращаются вместе и остаются неподвижными относительно спицы, они имеют одинаковую угловую скорость $\omega$. Сила натяжения нити $\text{T}$ сообщает каждому шарику необходимое центростремительное ускорение.

Пусть $r_1$ – расстояние от шарика массой $m_1$ до оси вращения, а $r_2$ – расстояние от шарика массой $m_2$ до оси вращения. Вместе они составляют длину нити: $r_1 + r_2 = L$.

Запишем второй закон Ньютона для каждого шарика в проекции на спицу:

Для первого шарика: $T = m_1 a_{ц1} = m_1 \omega^2 r_1$.

Для второго шарика: $T = m_2 a_{ц2} = m_2 \omega^2 r_2$.

Сила натяжения нити и угловая скорость для обоих шариков одинаковы. Приравняем правые части уравнений:

$m_1 \omega^2 r_1 = m_2 \omega^2 r_2$

Сократив $\omega^2$, получим: $m_1 r_1 = m_2 r_2$.

Мы получили систему из двух уравнений:

1) $r_1 + r_2 = L$

2) $m_1 r_1 = m_2 r_2$

Из второго уравнения выразим $r_2 = \frac{m_1}{m_2} r_1$ и подставим в первое:

$r_1 + \frac{m_1}{m_2} r_1 = L \implies r_1(1 + \frac{m_1}{m_2}) = L \implies r_1 = L \frac{m_2}{m_1 + m_2}$

Тогда $r_2 = L - r_1 = L \frac{m_1}{m_1 + m_2}$.

Подставим числовые значения (можно в граммах и сантиметрах, так как важны только отношения):

$r_1 = 6 \text{ см} \cdot \frac{60}{80 + 60} = 6 \cdot \frac{60}{140} = 6 \cdot \frac{3}{7} = \frac{18}{7} \approx 2.57 \text{ см}$

$r_2 = 6 \text{ см} \cdot \frac{80}{80 + 60} = 6 \cdot \frac{80}{140} = 6 \cdot \frac{4}{7} = \frac{24}{7} \approx 3.43 \text{ см}$

Ответ: Шарик массой 80 г располагается на расстоянии $\approx 2.57$ см от оси вращения, а шарик массой 60 г – на расстоянии $\approx 3.43$ см.