Вариант 5*, страница 36 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Контрольная работа. Динамика. Динамика. Механика - страница 36.

Условие.

Вариант 5*

1. Брусок массой $ ext{m}$ соскальзывает по наклонной плоскости из состояния покоя. Как изменятся его ускорение и сила трения при увеличении массы бруска в 2 раза? Для каждой величины определите соответствующий характер изменения и запишите его номер.

1) увеличится

2) уменьшится

3) не изменится

2. По наклонной плоскости длиной 30 см и высотой 18 см из состояния покоя движется тело. Коэффициент трения между телом и плоскостью составляет 0,731. Определите время движения тела.

3. Радиус некоторой планеты в 4 раза меньше радиуса Земли, а масса — в 80 раз меньше массы Земли. Определите ускорение свободного падения на этой планете.

4. Детское ведёрко с водой вращают с постоянной скоростью в вертикальной плоскости на верёвке длиной 40 см. Определите минимальную скорость, при которой вода из ведёрка не выливается.

Решение.

1. Для анализа движения бруска по наклонной плоскости введем систему координат: ось $Ox$ направим вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей вверх. Угол наклона плоскости обозначим как $\alpha$.

На брусок действуют три силы:

1. Сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз.

2. Сила реакции опоры $\text{N}$, направленная перпендикулярно плоскости.

3. Сила трения скольжения $F_{тр}$, направленная против движения (вдоль плоскости вверх).

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат:

На ось $Oy$: $N - mg \cos\alpha = 0 \implies N = mg \cos\alpha$.

На ось $Ox$: $mg \sin\alpha - F_{тр} = ma$.

Сила трения скольжения определяется формулой $F_{тр} = \mu N$, где $\mu$ — коэффициент трения. Подставив выражение для $\text{N}$, получаем:

$F_{тр} = \mu mg \cos\alpha$.

Теперь найдем ускорение $\text{a}$, подставив силу трения в уравнение для оси $Ox$:

$mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha = ma$.

Сократив массу $\text{m}$, получим выражение для ускорения:

$a = g(\sin\alpha - \mu \cos\alpha)$.

Проанализируем, как изменятся ускорение и сила трения при увеличении массы бруска в 2 раза (т.е. $m' = 2m$).

Ускорение ($\text{a}$): Как видно из формулы $a = g(\sin\alpha - \mu \cos\alpha)$, ускорение не зависит от массы бруска $\text{m}$. Следовательно, при увеличении массы ускорение не изменится.

Сила трения ($F_{тр}$): Формула для силы трения $F_{тр} = \mu mg \cos\alpha$ показывает прямую пропорциональность силе трения от массы $\text{m}$. Если масса увеличится в 2 раза, то новая сила трения $F'_{тр} = \mu (2m) g \cos\alpha = 2(\mu mg \cos\alpha) = 2F_{тр}$. Следовательно, сила трения увеличится.

Сопоставим наши выводы с предложенными вариантами:

- Ускорение: не изменится (3).

- Сила трения: увеличится (1).

Ответ: Ускорение – 3, Сила трения – 1.

2. Дано:

$L = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

$h = 18 \text{ см} = 0.18 \text{ м}$

$v_0 = 0 \text{ м/с}$ (из состояния покоя)

$\mu = 0.731$

$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$\text{t}$ — ?

Решение:

Тело движется равноускоренно. Пройденный путь $\text{L}$ можно найти по формуле:

$L = v_0 t + \frac{at^2}{2}$.

Поскольку начальная скорость $v_0 = 0$, формула упрощается:

$L = \frac{at^2}{2}$.

Отсюда время движения $\text{t}$:

$t = \sqrt{\frac{2L}{a}}$.

Для нахождения времени необходимо определить ускорение $\text{a}$. Ускорение тела, соскальзывающего по наклонной плоскости с трением, равно:

$a = g(\sin\alpha - \mu \cos\alpha)$,

где $\alpha$ — угол наклона плоскости.

Синус и косинус угла наклона найдем из геометрии наклонной плоскости, которая представляет собой прямоугольный треугольник с гипотенузой $\text{L}$ и противолежащим катетом $\text{h}$:

$\sin\alpha = \frac{h}{L} = \frac{0.18}{0.3} = 0.6$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, найдем косинус:

$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - 0.6^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$.

Теперь можем рассчитать ускорение:

$a = 9.8 \cdot (0.6 - 0.731 \cdot 0.8) = 9.8 \cdot (0.6 - 0.5848) = 9.8 \cdot 0.0152 \approx 0.149 \text{ м/с}^2$.

Подставим значение ускорения в формулу для времени:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.3}{0.149}} = \sqrt{\frac{0.6}{0.149}} \approx \sqrt{4.027} \approx 2.0 \text{ с}$.

Ответ: $2.0 \text{ с}$.

3. Дано:

$R_п = \frac{R_З}{4}$

$M_п = \frac{M_З}{80}$

$g_З \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$g_п$ — ?

Решение:

Ускорение свободного падения $\text{g}$ на поверхности небесного тела с массой $\text{M}$ и радиусом $\text{R}$ определяется по формуле:

$g = G\frac{M}{R^2}$,

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

Для Земли эта формула имеет вид:

$g_З = G\frac{M_З}{R_З^2}$.

Для некоторой планеты:

$g_п = G\frac{M_п}{R_п^2}$.

Подставим в формулу для $g_п$ данные из условия задачи:

$g_п = G\frac{M_З/80}{(R_З/4)^2} = G\frac{M_З/80}{R_З^2/16} = G\frac{M_З}{R_З^2} \cdot \frac{16}{80}$.

Так как $G\frac{M_З}{R_З^2} = g_З$, получаем:

$g_п = g_З \cdot \frac{16}{80} = g_З \cdot \frac{1}{5}$.

Теперь вычислим числовое значение, приняв $g_З = 9.8 \text{ м/с}^2$:

$g_п = \frac{9.8}{5} = 1.96 \text{ м/с}^2$.

Ответ: $1.96 \text{ м/с}^2$.

4. Дано:

$l = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$

$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$v_{min}$ — ?

Решение:

Вода не выльется из ведёрка, если в верхней точке траектории сила тяжести, действующая на воду, будет создавать центростремительное ускорение, не превышающее требуемое для движения по окружности.

В верхней точке на воду действуют две силы, направленные вертикально вниз: сила тяжести $mg$ и сила реакции дна ведёрка $\text{N}$. По второму закону Ньютона, их сумма равна произведению массы воды на центростремительное ускорение:

$mg + N = ma_ц = m\frac{v^2}{r}$,

где $\text{r}$ — радиус окружности, равный длине верёвки $\text{l}$.

Вода не выливается, пока она прижата к дну ведёрка, то есть пока сила реакции опоры $N \ge 0$. Минимальная скорость соответствует случаю, когда вода почти теряет контакт с дном, то есть $N = 0$.

При $N = 0$ уравнение принимает вид:

$mg = m\frac{v_{min}^2}{r}$.

Сокращая массу $\text{m}$, получаем:

$g = \frac{v_{min}^2}{r}$.

Отсюда выражаем минимальную скорость:

$v_{min} = \sqrt{gr}$.

Подставим числовые значения ($r=l=0.4 \text{ м}$):

$v_{min} = \sqrt{9.8 \cdot 0.4} = \sqrt{3.92} \approx 1.98 \text{ м/с}$.

Округлив до двух значащих цифр, получаем $2.0 \text{ м/с}$.

Ответ: $\approx 1.98 \text{ м/с}$.