Вариант 1, страница 34 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Контрольная работа. Динамика. Динамика. Механика - страница 34.

Условие.

Вариант 1

1. Мяч брошен вертикально вниз с небольшой высоты с некоторой начальной скоростью. Как изменяются за время полёта ускорение мяча и сила притяжения его к Земле? Для каждой величины определите соответствующий характер изменения и запишите его номер.
1) увеличивается
2) уменьшается
3) не изменяется

2. Трамвай движется со скоростью 28,8 км/ч. После того как будет выключен двигатель, какое расстояние проедет трамвай, пока его скорость уменьшится в 4 раза? Коэффициент сопротивления движению составляет 0,05.

3. На какой высоте над поверхностью Земли ускорение свободного падения равно $5 \text{ м/с}^2$?

4. Шарик массой 500 г движется по выпуклой поверхности радиусом 10 м. Определите силу реакции поверхности в тот момент, когда шарик проходит точку, радиус к которой составляет с вертикалью угол 60°. Скорость шарика в этот момент равна 2 м/с.

Решение.

1. Рассмотрим изменение каждой величины во время полёта мяча, пренебрегая сопротивлением воздуха.

Ускорение мяча: Единственная сила, действующая на мяч в полёте, — это сила тяжести. Согласно второму закону Ньютона, ускорение $\text{a}$ связано с силой $\text{F}$ и массой $\text{m}$ как $a = F/m$. Сила тяжести $F_g = mg$, где $\text{g}$ — ускорение свободного падения. Следовательно, ускорение мяча равно $a = mg/m = g$. Так как мяч брошен с небольшой высоты, ускорение свободного падения $\text{g}$ можно считать постоянной величиной. Таким образом, ускорение мяча не изменяется.

Сила притяжения его к Земле: Сила притяжения (сила тяжести) определяется по формуле $F_g = mg$. Масса мяча $\text{m}$ является постоянной величиной. Ускорение свободного падения $\text{g}$ вблизи поверхности Земли также считается постоянным, поскольку высота полёта мала по сравнению с радиусом Земли. Поэтому сила притяжения мяча к Земле не изменяется.

Для обеих величин подходит вариант «не изменяется».

Ответ: ускорение мяча — 3; сила притяжения его к Земле — 3.

2. Дано:

$v_0 = 28,8$ км/ч
$n = 4$ (скорость уменьшается в 4 раза)
$\mu = 0,05$

Перевод в систему СИ:

$v_0 = 28,8 \cdot \frac{1000}{3600} \, \text{м/с} = 8 \, \text{м/с}$
Конечная скорость $v = \frac{v_0}{n} = \frac{8 \, \text{м/с}}{4} = 2 \, \text{м/с}$

Найти:

$\text{S}$ — расстояние, которое проедет трамвай.

Решение:

После выключения двигателя на трамвай в горизонтальном направлении действует только сила сопротивления движению. По второму закону Ньютона: $ma = -F_{\text{сопр}}$

Сила сопротивления пропорциональна силе нормальной реакции: $F_{\text{сопр}} = \mu N$. На горизонтальной поверхности сила нормальной реакции равна силе тяжести: $N = mg$. Таким образом, $F_{\text{сопр}} = \mu mg$.

Подставим в уравнение второго закона Ньютона: $ma = -\mu mg$. Отсюда находим ускорение (замедление) трамвая: $a = -\mu g$

Для равноускоренного движения справедлива формула, связывающая начальную и конечную скорости, ускорение и пройденное расстояние: $S = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$

Подставим выражение для ускорения: $S = \frac{v^2 - v_0^2}{2(-\mu g)} = \frac{v_0^2 - v^2}{2\mu g}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \, \text{м/с}^2$. Подставим числовые значения: $S = \frac{(8)^2 - (2)^2}{2 \cdot 0,05 \cdot 10} = \frac{64 - 4}{1} = 60 \, \text{м}.$

Ответ: 60 м.

3. Дано:

$g_h = 5 \, \text{м/с}^2$ (ускорение на высоте $\text{h}$)
Справочные данные:
$g_0 \approx 10 \, \text{м/с}^2$ (ускорение у поверхности Земли)
$R_{\text{З}} \approx 6400$ км (радиус Земли)

Найти:

$\text{h}$ — высота над поверхностью Земли.

Решение:

Ускорение свободного падения на поверхности Земли определяется формулой: $g_0 = \frac{GM_{\text{З}}}{R_{\text{З}}^2}$, где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $M_{\text{З}}$ — масса Земли, $R_{\text{З}}$ — радиус Земли.

На высоте $\text{h}$ над поверхностью расстояние до центра Земли будет $r = R_{\text{З}} + h$. Ускорение свободного падения на этой высоте: $g_h = \frac{GM_{\text{З}}}{(R_{\text{З}} + h)^2}$

Разделим второе уравнение на первое: $\frac{g_h}{g_0} = \frac{GM_{\text{З}} / (R_{\text{З}} + h)^2}{GM_{\text{З}} / R_{\text{З}}^2} = \frac{R_{\text{З}}^2}{(R_{\text{З}} + h)^2} = \left(\frac{R_{\text{З}}}{R_{\text{З}} + h}\right)^2$

Подставим известные значения: $\frac{5}{10} = \left(\frac{R_{\text{З}}}{R_{\text{З}} + h}\right)^2$ $\frac{1}{2} = \left(\frac{R_{\text{З}}}{R_{\text{З}} + h}\right)^2$

Извлечём квадратный корень из обеих частей: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{R_{\text{З}}}{R_{\text{З}} + h}$

Выразим $\text{h}$: $R_{\text{З}} + h = \sqrt{2}R_{\text{З}}$ $h = \sqrt{2}R_{\text{З}} - R_{\text{З}} = R_{\text{З}}(\sqrt{2} - 1)$

Подставим числовые значения ($R_{\text{З}} = 6400$ км, $\sqrt{2} \approx 1,414$): $h \approx 6400 \, \text{км} \cdot (1,414 - 1) = 6400 \, \text{км} \cdot 0,414 = 2649,6 \, \text{км}.$

Округлим результат.

Ответ: $\approx 2650$ км.

4. Дано:

$m = 500$ г
$R = 10$ м
$\alpha = 60^\circ$
$v = 2$ м/с

Перевод в систему СИ:

$m = 0,5$ кг

Найти:

$\text{N}$ — сила реакции поверхности.

Решение:

На шарик действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, направленная перпендикулярно поверхности (по радиусу от центра кривизны).

Запишем второй закон Ньютона в проекции на радиальную ось, направленную к центру кривизны поверхности. Равнодействующая сил в этом направлении сообщает шарику центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v^2}{R}$.

Проекция силы тяжести на радиальную ось равна $mg \cos\alpha$. Проекция силы реакции опоры равна $-N$ (так как она направлена от центра).

Таким образом, уравнение второго закона Ньютона в проекции на радиальную ось имеет вид: $m\frac{v^2}{R} = mg \cos\alpha - N$

Отсюда выразим силу реакции опоры $\text{N}$: $N = mg \cos\alpha - m\frac{v^2}{R}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \, \text{м/с}^2$. Подставим числовые значения, учитывая, что $\cos(60^\circ) = 0,5$: $N = 0,5 \cdot 10 \cdot \cos(60^\circ) - 0,5 \cdot \frac{2^2}{10}$ $N = 5 \cdot 0,5 - 0,5 \cdot \frac{4}{10} = 2,5 - 0,5 \cdot 0,4 = 2,5 - 0,2 = 2,3 \, \text{Н}.$

Ответ: 2,3 Н.