Вариант 1, страница 32 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Динамика. Самостоятельная работа № 11. Движение связанных тел - страница 32.

Условие.

Вариант 1

1. Два тела массами 600 г и 400 г связаны невесомой нерастяжимой нитью и располагаются на гладкой горизонтальной поверхности. На первое тело действует сила 2 Н, направленная горизонтально. Определите силу натяжения нити и ускорение тел.

2. Две гири массами $m_1 = m_2 = 200$ г связаны невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через идеальный блок. Первоначально гири находятся в покое. На одну из гирь ставят дополнительный груз массой 100 г. Определите силу натяжения нити и ускорение тел.

Решение.

1. Дано:

$m_1 = 600$ г
$m_2 = 400$ г
$F = 2$ Н

$m_1 = 0.6 \text{ кг}$
$m_2 = 0.4 \text{ кг}$

Найти:

$T - ?$
$a - ?$

Решение:

Поскольку тела связаны невесомой и нерастяжимой нитью, они движутся как единое целое с одинаковым ускорением $\text{a}$. Применим второй закон Ньютона для всей системы, рассматривая два тела как одно целое с общей массой $M = m_1 + m_2$. На систему действует внешняя сила $\text{F}$.

$F = (m_1 + m_2)a$

Из этого уравнения мы можем выразить и рассчитать ускорение тел:

$a = \frac{F}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$a = \frac{2 \text{ Н}}{0.6 \text{ кг} + 0.4 \text{ кг}} = \frac{2 \text{ Н}}{1.0 \text{ кг}} = 2 \text{ м/с}^2$

Теперь, чтобы найти силу натяжения нити $\text{T}$, рассмотрим силы, действующие на второе тело (массой $m_2$). В горизонтальном направлении на него действует только сила натяжения нити $\text{T}$. Согласно второму закону Ньютона для второго тела:

$T = m_2 a$

Подставим известные значения массы $m_2$ и найденного ускорения $\text{a}$:

$T = 0.4 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с}^2 = 0.8 \text{ Н}$

Ответ: сила натяжения нити $T = 0.8$ Н, ускорение тел $a = 2 \text{ м/с}^2$.

2. Дано:

$m_1 = m_2 = 200$ г
$\Delta m = 100$ г

$m_1 = m_2 = 0.2 \text{ кг}$
$\Delta m = 0.1 \text{ кг}$

Найти:

$T - ?$
$a - ?$

Решение:

После того, как на одну из гирь (допустим, на первую) помещают дополнительный груз, ее масса становится $m'_1 = m_1 + \Delta m$. Система, состоящая из двух грузов, соединенных нитью через блок (машина Атвуда), приходит в движение. Груз с большей массой $m'_1$ будет двигаться вниз, а груз с меньшей массой $m_2$ — вверх. Так как нить нерастяжима, ускорения обоих грузов равны по модулю $\text{a}$.

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Запишем второй закон Ньютона для каждого груза в проекции на вертикальную ось. Направим ось для каждого груза в сторону его движения (для $m'_1$ — вниз, для $m_2$ — вверх).

Для первого (более тяжелого) груза:

$m'_1 g - T = m'_1 a$

Для второго груза:

$T - m_2 g = m_2 a$

Мы получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $\text{a}$ и $\text{T}$. Чтобы найти ускорение $\text{a}$, сложим левые и правые части уравнений:

$(m'_1 g - T) + (T - m_2 g) = m'_1 a + m_2 a$

$m'_1 g - m_2 g = (m'_1 + m_2)a$

Выразим ускорение из полученного уравнения:

$a = \frac{(m'_1 - m_2)g}{m'_1 + m_2}$

Подставим числовые значения. Новая масса первого груза $m'_1 = 0.2 \text{ кг} + 0.1 \text{ кг} = 0.3 \text{ кг}$.

$a = \frac{(0.3 \text{ кг} - 0.2 \text{ кг}) \cdot 10 \text{ м/с}^2}{0.3 \text{ кг} + 0.2 \text{ кг}} = \frac{0.1 \cdot 10}{0.5} \text{ м/с}^2 = \frac{1}{0.5} \text{ м/с}^2 = 2 \text{ м/с}^2$

Для нахождения силы натяжения нити $\text{T}$ подставим найденное значение ускорения $\text{a}$ во второе уравнение системы:

$T = m_2 a + m_2 g = m_2(a + g)$

$T = 0.2 \text{ кг} \cdot (2 \text{ м/с}^2 + 10 \text{ м/с}^2) = 0.2 \text{ кг} \cdot 12 \text{ м/с}^2 = 2.4 \text{ Н}$

Ответ: сила натяжения нити $T = 2.4$ Н, ускорение тел $a = 2 \text{ м/с}^2$.