Вариант 4, страница 33 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 11. Движение связанных тел. Динамика. Механика - страница 33.

Условие.

Вариант 4

1. Два тела массами 10 кг и 5 кг скреплены невесомым нерастяжимым стержнем. Они движутся вертикально вниз под действием силы 30 Н, приложенной ко второму телу. Определите силу реакции, возникающую в стержне, и ускорение системы.

2. На гладкой горизонтальной поверхности стола лежит брусок массой 200 г. К нему при помощи невесомой нерастяжимой нити привязали такой же брусок. Нить перекинута через идеальный блок, укреплённый на краю стола. Второй брусок свободно висит. Система приходит в движение. Определите силу реакции оси блока.

Решение.

1. Дано:

$m_1 = 10 \text{ кг}$
$m_2 = 5 \text{ кг}$
$F = 30 \text{ Н}$
$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

(Все данные представлены в системе СИ)

Найти:

$a - ?$
Силу реакции в стержне $T - ?$

Решение:

Рассмотрим систему из двух тел как единое целое, так как они соединены нерастяжимым стержнем и движутся с одинаковым ускорением. Выберем ось OY, направленную вертикально вниз, по направлению движения.

На систему действуют силы тяжести обоих тел ($m_1 g$ и $m_2 g$) и внешняя сила $\text{F}$, приложенная ко второму телу. Все эти силы направлены вниз.

Согласно второму закону Ньютона для всей системы:
$\sum F_y = (m_1 + m_2) \cdot a$
$m_1 g + m_2 g + F = (m_1 + m_2)a$

Из этого уравнения выразим ускорение системы $\text{a}$:
$a = \frac{m_1 g + m_2 g + F}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения:
$a = \frac{10 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 + 5 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 + 30 \text{ Н}}{10 \text{ кг} + 5 \text{ кг}} = \frac{100 \text{ Н} + 50 \text{ Н} + 30 \text{ Н}}{15 \text{ кг}} = \frac{180 \text{ Н}}{15 \text{ кг}} = 12 \text{ м/с}^2$

Для определения силы реакции в стержне $\text{T}$ рассмотрим силы, действующие на одно из тел. Рассмотрим первое тело массой $m_1$. На него действуют сила тяжести $m_1 g$ (вниз) и сила реакции стержня $\text{T}$. Так как ускорение системы $a = 12 \text{ м/с}^2$ больше ускорения свободного падения $g = 10 \text{ м/с}^2$, второе тело "тянет" за собой первое, следовательно, стержень растянут, и сила реакции $\text{T}$ для первого тела направлена также вниз.

Запишем второй закон Ньютона для первого тела:
$m_1 g + T = m_1 a$

Выразим силу $\text{T}$:
$T = m_1 a - m_1 g = m_1(a - g)$

Подставим значения:
$T = 10 \text{ кг} \cdot (12 \text{ м/с}^2 - 10 \text{ м/с}^2) = 10 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с}^2 = 20 \text{ Н}$

Ответ: ускорение системы составляет $12 \text{ м/с}^2$, сила реакции в стержне равна $20 \text{ Н}$.

2. Дано:

$m_1 = 200 \text{ г}$
$m_2 = 200 \text{ г}$
$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

$m_1 = 0.2 \text{ кг}$
$m_2 = 0.2 \text{ кг}$

Найти:

Силу реакции оси блока $R - ?$

Решение:

Так как бруски связаны нерастяжимой нитью, они движутся как единая система с одинаковым ускорением $\text{a}$. Движущей силой для системы является сила тяжести, действующая на второй (свисающий) брусок, $F_{тяж} = m_2 g$. Эта сила сообщает ускорение обоим брускам, общая масса которых $M = m_1 + m_2$. Трение отсутствует.

Запишем второй закон Ньютона для системы в целом:
$m_2 g = (m_1 + m_2)a$

Поскольку массы брусков одинаковы ($m_1 = m_2 = m$), можно записать:
$m g = (m + m)a = 2ma$

Отсюда найдем ускорение системы:
$a = \frac{m g}{2m} = \frac{g}{2} = \frac{10 \text{ м/с}^2}{2} = 5 \text{ м/с}^2$

Для нахождения силы реакции оси блока необходимо сначала определить силу натяжения нити $\text{T}$. Рассмотрим силы, действующие на первый брусок (лежащий на столе). В горизонтальном направлении на него действует только сила натяжения нити $\text{T}$.

По второму закону Ньютона для первого бруска:
$T = m_1 a$
$T = 0.2 \text{ кг} \cdot 5 \text{ м/с}^2 = 1 \text{ Н}$

На ось идеального блока со стороны нити действуют две силы, равные по модулю силе натяжения $\text{T}$. Одна сила направлена горизонтально ($T_x$), а другая — вертикально вниз ($T_y$). Сила реакции оси блока $\text{R}$ по модулю равна равнодействующей этих двух сил и направлена противоположно ей.

Так как силы $T_x$ и $T_y$ перпендикулярны, их равнодействующая $F_T$ находится по теореме Пифагора:
$F_T = \sqrt{T_x^2 + T_y^2} = \sqrt{T^2 + T^2} = \sqrt{2T^2} = T\sqrt{2}$

Модуль силы реакции оси блока $\text{R}$ равен модулю $F_T$:
$R = T\sqrt{2} = 1 \text{ Н} \cdot \sqrt{2} \approx 1.41 \text{ Н}$

Ответ: сила реакции оси блока примерно равна $1.41 \text{ Н}$.