Вариант 4, страница 35 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Динамика. Контрольная работа. Динамика - страница 35.

Условие.

Вариант 4

1. Брусок массой $ ext{m}$ соскальзывает по наклонной плоскости. Как изменятся ускорение бруска и сила реакции опоры при уменьшении массы бруска в 3 раза? Для каждой величины определите соответствующий характер изменения и запишите его номер.

1) увеличится

2) уменьшится

3) не изменится

2. Автобус массой 10 т, отъезжая от остановки, за 2 с набирает скорость 18 км/ч. Определите силу тяги двигателя автобуса, если коэффициент сопротивления движению равен 0,02.

3. Масса планеты Марс $6,4 \cdot 10^{20}$ т, его радиус 3400 км. Какой путь пройдёт на Марсе за 10 с отпущенное с большой высоты в свободное падение тело?

4. На краю вращающегося с постоянной скоростью диска радиусом 40 см лежит тело. Коэффициент трения между телом и диском составляет 0,4. При какой угловой скорости вращения тело сможет начать движение по диску?

Решение.

1. Рассмотрим движение бруска массой $\text{m}$ по наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$. На брусок действуют сила тяжести $mg$, сила реакции опоры $\text{N}$ и сила трения скольжения $F_{тр}$. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси, направленные вдоль (ось X) и перпендикулярно (ось Y) наклонной плоскости.
Проекция на ось Y: $N - mg \cos(\alpha) = 0$, откуда сила реакции опоры $N = mg \cos(\alpha)$.
Проекция на ось X: $mg \sin(\alpha) - F_{тр} = ma$, где $\text{a}$ — ускорение бруска.
Сила трения скольжения равна $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos(\alpha)$, где $\mu$ — коэффициент трения.
Подставим выражение для силы трения в уравнение для оси X: $mg \sin(\alpha) - \mu mg \cos(\alpha) = ma$.

Ускорение бруска
Из уравнения для оси X, сократив массу $\text{m}$ с обеих сторон, получим выражение для ускорения: $a = g(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$. Как видно из формулы, ускорение бруска не зависит от его массы $\text{m}$. Следовательно, при уменьшении массы ускорение не изменится.

Ответ: 3

Сила реакции опоры
Сила реакции опоры определяется выражением $N = mg \cos(\alpha)$. Она прямо пропорциональна массе $\text{m}$. При уменьшении массы бруска в 3 раза сила реакции опоры также уменьшится в 3 раза.

Ответ: 2

2. Дано:
$m = 10 \text{ т}$
$t = 2 \text{ c}$
$v = 18 \text{ км/ч}$
$v_0 = 0 \text{ м/с}$ (отъезжая от остановки)
$\mu = 0,02$
Перевод в СИ:
$m = 10 \times 10^3 \text{ кг} = 10^4 \text{ кг}$
$v = 18 \times \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 5 \text{ м/с}$

Найти:

$F_{тяги} - ?$

Решение:

Движение автобуса является равноускоренным. Сначала найдём ускорение автобуса $\text{a}$:
$a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{5 \text{ м/с} - 0}{2 \text{ с}} = 2,5 \text{ м/с}^2$
Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил, действующих на автобус, равна $ma$. На автобус в горизонтальном направлении действуют сила тяги двигателя $F_{тяги}$ и сила сопротивления движению $F_{сопр}$.
$ma = F_{тяги} - F_{сопр}$
Сила сопротивления пропорциональна силе нормальной реакции опоры $\text{N}$: $F_{сопр} = \mu N$. Для движения по горизонтальной поверхности $N = mg$. Примем $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.
$F_{сопр} = \mu mg = 0,02 \times 10^4 \text{ кг} \times 10 \text{ м/с}^2 = 2000 \text{ Н}$
Теперь выразим и найдём силу тяги:
$F_{тяги} = ma + F_{сопр} = ma + \mu mg$
$F_{тяги} = 10^4 \text{ кг} \times 2,5 \text{ м/с}^2 + 2000 \text{ Н} = 25000 \text{ Н} + 2000 \text{ Н} = 27000 \text{ Н}$

Ответ: $27000 \text{ Н}$ или $27 \text{ кН}$.

3. Дано:
$M = 6,4 \cdot 10^{20} \text{ т}$
$R = 3400 \text{ км}$
$t = 10 \text{ c}$
$v_0 = 0 \text{ м/с}$
Гравитационная постоянная $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$
Перевод в СИ:
$M = 6,4 \cdot 10^{20} \times 10^3 \text{ кг} = 6,4 \cdot 10^{23} \text{ кг}$
$R = 3400 \times 10^3 \text{ м} = 3,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$h - ?$

Решение:

Для нахождения пути, пройденного телом при свободном падении, необходимо сначала определить ускорение свободного падения на поверхности Марса, $g_M$. Оно вычисляется по закону всемирного тяготения:
$g_M = \frac{GM}{R^2}$
Подставим числовые значения:
$g_M = \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \times 6,4 \cdot 10^{23} \text{ кг}}{(3,4 \cdot 10^6 \text{ м})^2} = \frac{6,67 \cdot 6,4 \cdot 10^{12}}{11,56 \cdot 10^{12}} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \frac{42,688}{11,56} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 3,7 \text{ м/с}^2$
Путь, пройденный телом при свободном падении без начальной скорости ("отпущенное с большой высоты"), определяется формулой равноускоренного движения:
$h = v_0 t + \frac{g_M t^2}{2}$
Так как $v_0 = 0$, то $h = \frac{g_M t^2}{2}$.
Подставим значения $g_M$ и $\text{t}$:
$h = \frac{3,7 \text{ м/с}^2 \times (10 \text{ с})^2}{2} = \frac{3,7 \times 100}{2} \text{ м} = 185 \text{ м}$

Ответ: $185 \text{ м}$.

4. Дано:
$R = 40 \text{ см}$
$\mu = 0,4$
Перевод в СИ:
$R = 0,4 \text{ м}$

Найти:

$\omega - ?$

Решение:

Тело, лежащее на краю вращающегося диска, движется по окружности. Удерживающей силой, которая обеспечивает центростремительное ускорение $a_ц$, является сила трения покоя $F_{тр}$.
$F_{тр} = ma_ц$
Центростремительное ускорение выражается через угловую скорость $\omega$ и радиус $\text{R}$ как $a_ц = \omega^2 R$.
$F_{тр} = m \omega^2 R$
Тело начнёт соскальзывать, когда требуемая для удержания на окружности сила станет равна максимальной силе трения покоя $F_{тр.макс}$. Максимальная сила трения покоя равна $F_{тр.макс} = \mu N$, где $\text{N}$ — сила реакции опоры. Для горизонтального диска $N = mg$.
$F_{тр.макс} = \mu mg$
Условие начала соскальзывания:
$m \omega^2 R = \mu mg$
Сокращаем массу $\text{m}$:
$\omega^2 R = \mu g$
Выражаем искомую угловую скорость $\omega$:
$\omega = \sqrt{\frac{\mu g}{R}}$
Примем $g \approx 10 \text{ м/с}^2$. Подставим числовые значения:
$\omega = \sqrt{\frac{0,4 \times 10 \text{ м/с}^2}{0,4 \text{ м}}} = \sqrt{10} \text{ рад/с} \approx 3,16 \text{ рад/с}$

Ответ: $\sqrt{10} \text{ рад/с}$ (или примерно $3,16 \text{ рад/с}$).