Вариант 5*, страница 33 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Динамика. Самостоятельная работа № 11. Движение связанных тел - страница 33.

Условие.

Вариант 5*

1. На гладкой поверхности лежат два связанных бруска массами $200 \text{ г}$ и $300 \text{ г}$. К первому бруску приложена горизонтальная сила $0,6 \text{ Н}$, ко второму — $0,1 \text{ Н}$. Силы действуют вдоль одной прямой, но в противоположных направлениях. Определите ускорение брусков и силу натяжения нити.

2. На гладкой наклонной плоскости с углом наклона $30^{\circ}$ покоится брусок массой $M$. На вершине плоскости закреплён идеальный блок. Брусок связан невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок, со вторым бруском массой $m$, который свободно висит. Во сколько раз масса первого бруска больше массы второго?

Решение.

1. Дано:

$m_1 = 200 \text{ г}$

$m_2 = 300 \text{ г}$

$F_1 = 0,6 \text{ Н}$

$F_2 = 0,1 \text{ Н}$

$m_1 = 200 \text{ г} = 0,2 \text{ кг}$
$m_2 = 300 \text{ г} = 0,3 \text{ кг}$

Найти:

$\text{a}$ - ?

$\text{T}$ - ?

Решение:

Поскольку поверхность гладкая, силой трения можно пренебречь. Бруски связаны нитью, поэтому они движутся как единое целое с одинаковым ускорением $\text{a}$. Направим ось $Ox$ в сторону действия большей силы $F_1$. Тогда сила $F_2$ будет направлена в противоположную сторону.

Запишем второй закон Ньютона для системы из двух брусков как для единого целого. Суммарная масса системы $M_{общ} = m_1 + m_2$. Равнодействующая внешних сил, действующих на систему в горизонтальном направлении, равна $F_{равн} = F_1 - F_2$.

$F_1 - F_2 = (m_1 + m_2)a$

Отсюда можем найти ускорение системы:

$a = \frac{F_1 - F_2}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения:

$a = \frac{0,6 \text{ Н} - 0,1 \text{ Н}}{0,2 \text{ кг} + 0,3 \text{ кг}} = \frac{0,5 \text{ Н}}{0,5 \text{ кг}} = 1 \text{ м/с}^2$

Теперь найдем силу натяжения нити $\text{T}$. Для этого запишем второй закон Ньютона для одного из брусков. Например, для первого бруска массой $m_1$. На него действуют сила $F_1$ (в положительном направлении оси $Ox$) и сила натяжения нити $\text{T}$ (в отрицательном направлении).

$F_1 - T = m_1 a$

Выразим отсюда силу натяжения $\text{T}$:

$T = F_1 - m_1 a$

Подставим значения:

$T = 0,6 \text{ Н} - 0,2 \text{ кг} \cdot 1 \text{ м/с}^2 = 0,6 \text{ Н} - 0,2 \text{ Н} = 0,4 \text{ Н}$

Для проверки можно записать уравнение для второго бруска массой $m_2$. На него действуют сила натяжения нити $\text{T}$ (в положительном направлении) и сила $F_2$ (в отрицательном направлении).

$T - F_2 = m_2 a$

$T = F_2 + m_2 a = 0,1 \text{ Н} + 0,3 \text{ кг} \cdot 1 \text{ м/с}^2 = 0,1 \text{ Н} + 0,3 \text{ Н} = 0,4 \text{ Н}$

Результаты совпали, что подтверждает правильность решения.

Ответ: ускорение брусков $a = 1 \text{ м/с}^2$, сила натяжения нити $T = 0,4 \text{ Н}$.

2. Дано:

$\alpha = 30^\circ$

Система находится в состоянии покоя ($a=0$)

Найти:

$\frac{M}{m}$ - ?

Решение:

Поскольку система находится в равновесии, ускорение каждого бруска равно нулю. Согласно первому закону Ньютона, это означает, что векторная сумма всех сил, действующих на каждый брусок, равна нулю.

Рассмотрим брусок массой $\text{m}$, который висит свободно. На него действуют две силы: сила тяжести $F_{g_m} = mg$, направленная вниз, и сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вверх. Условие равновесия для этого бруска:

$T - mg = 0 \implies T = mg$

Рассмотрим брусок массой $\text{M}$ на гладкой наклонной плоскости. На него действуют три силы: сила тяжести $F_{g_M} = Mg$, сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ и сила натяжения нити $\text{T}$. Выберем систему координат, в которой ось $Ox$ направлена вдоль наклонной плоскости вверх, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей.

Сила тяжести $Mg$ раскладывается на две составляющие: составляющую, параллельную наклонной плоскости, $Mg \sin \alpha$, направленную вниз вдоль плоскости, и составляющую, перпендикулярную плоскости, $Mg \cos \alpha$.

Запишем условие равновесия для бруска $\text{M}$ в проекции на ось $Ox$:

$T - Mg \sin \alpha = 0 \implies T = Mg \sin \alpha$

Так как нить невесома и нерастяжима, а блок идеальный, сила натяжения $\text{T}$ одинакова для обоих брусков. Приравняем полученные выражения для $\text{T}$:

$mg = Mg \sin \alpha$

Нам нужно найти отношение $\frac{M}{m}$. Для этого разделим обе части уравнения на $m \cdot g \cdot \sin \alpha$ (поскольку $m \neq 0, g \neq 0, \sin \alpha \neq 0$):

$\frac{M}{m} = \frac{g}{g \sin \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha}$

Подставим значение угла $\alpha = 30^\circ$:

$\frac{M}{m} = \frac{1}{\sin 30^\circ} = \frac{1}{0,5} = 2$

Ответ: масса первого бруска больше массы второго в 2 раза.