Вариант 5*, страница 37 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Законы сохранения в механике. Самостоятельная работа № 1. Импульс тела. Изменение импульса тела - страница 37.

Условие.

Вариант 5*

1. Свинцовый и стальной шарики одинакового объёма движутся с одинаковыми скоростями вдоль прямой. Во сколько раз импульс одного шарика больше импульса другого?

2. Небольшое тело массой 100 г движется по окружности с постоянной скоростью 10 м/с. Определите изменение импульса тела за четверть периода.

Решение.

1. Импульс тела определяется по формуле $p = mv$, где $\text{m}$ — масса тела, а $\text{v}$ — его скорость. Массу можно выразить через плотность $\rho$ и объём $\text{V}$ как $m = \rho V$. Тогда формула для импульса примет вид: $p = \rho V v$.

По условию задачи, свинцовый (индекс «л») и стальной (индекс «с») шарики имеют одинаковый объём ($V_л = V_с = V$) и движутся с одинаковыми скоростями ($v_л = v_с = v$).

Запишем импульсы для каждого шарика:

Импульс свинцового шарика: $p_л = \rho_л V v$.

Импульс стального шарика: $p_с = \rho_с V v$.

Чтобы найти, во сколько раз импульс одного шарика больше импульса другого, найдём их отношение. Так как плотность свинца больше плотности стали, то и импульс свинцового шарика будет больше.

$\frac{p_л}{p_с} = \frac{\rho_л V v}{\rho_с V v} = \frac{\rho_л}{\rho_с}$

Используем табличные значения плотностей:

Плотность свинца $\rho_л \approx 11340 \text{ кг/м}^3$.

Плотность стали $\rho_с \approx 7850 \text{ кг/м}^3$.

Подставим значения в формулу:

$\frac{p_л}{p_с} = \frac{11340 \text{ кг/м}^3}{7850 \text{ кг/м}^3} \approx 1,44$

Ответ: Импульс свинцового шарика больше импульса стального примерно в 1,44 раза.

2. Дано:

$m = 100 \text{ г}$

$v = 10 \text{ м/с}$

Промежуток времени $\Delta t = T/4$ (четверть периода)

$m = 100 \text{ г} = 0,1 \text{ кг}$

Найти:

$|\Delta \vec{p}|$

Решение:

Изменение импульса тела $\Delta \vec{p}$ — это векторная разность между конечным импульсом $\vec{p_2}$ и начальным импульсом $\vec{p_1}$: $\Delta \vec{p} = \vec{p_2} - \vec{p_1}$.

Импульс является вектором: $\vec{p} = m\vec{v}$. Поскольку скорость $\text{v}$ по модулю постоянна, то и модуль импульса постоянен: $|\vec{p_1}| = |\vec{p_2}| = p = mv$.

За четверть периода ($T/4$) тело, движущееся по окружности, пройдёт дугу в 90°. Это означает, что вектор скорости повернётся на 90°. Следовательно, векторы начального импульса $\vec{p_1}$ и конечного импульса $\vec{p_2}$ будут перпендикулярны друг другу.

Для нахождения модуля разности двух перпендикулярных векторов одинаковой длины можно использовать правило треугольника (или теорему Пифагора). Представим вектор $\Delta \vec{p}$ как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются векторы $\vec{p_2}$ и $-\vec{p_1}$. Модули векторов $|\vec{p_1}|$, $|-\vec{p_1}|$ и $|\vec{p_2}|$ равны $mv$.

$|\Delta \vec{p}| = \sqrt{|\vec{p_2}|^2 + |-\vec{p_1}|^2} = \sqrt{(mv)^2 + (mv)^2} = \sqrt{2(mv)^2} = mv\sqrt{2}$.

Подставим числовые значения:

$|\Delta \vec{p}| = 0,1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с} \cdot \sqrt{2} = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2} \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Ответ: Изменение импульса тела за четверть периода равно $\sqrt{2} \text{ кг}\cdot\text{м/с}$, что приблизительно составляет $1,41 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.