Вариант 4, страница 51 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Статика и гидромеханика. Самостоятельная работа № 3. Движение жидкости. Уравнение Бернулли - страница 51.

Условие.

Вариант 4

1. Из брандспойта вертикально вверх бьёт струя воды с расходом 1 кг за 1 с. Площадь поперечного сечения у основания струи равна $1,5 \, \text{см}^2$. Определите площадь поперечного сечения струи на высоте 2 м.

2. В горизонтальной трубе переменного сечения течёт вода. Площадь поперечного сечения широкой части трубы равна $20 \, \text{см}^2$, узкой — $10 \, \text{см}^2$. Разность уровней воды в вертикальных трубках одинакового сечения равна $20 \, \text{см}$ (см. рисунок). Определите объём воды, протекающей через поперечное сечение за 1 с. На рисунке также обозначены: $S_1$, $S_2$, $\Delta h$.

Решение.

1. Дано:

$Q_m = 1$ кг/с (массовый расход воды)

$S_1 = 1,5$ см$^2$ (площадь поперечного сечения у основания)

$h = 2$ м (высота)

$\rho = 1000$ кг/м$^3$ (плотность воды)

$g \approx 9,8$ м/с$^2$ (ускорение свободного падения)

Перевод в СИ:

$S_1 = 1,5$ см$^2 = 1,5 \cdot 10^{-4}$ м$^2$

Найти:

$S_2$ — площадь поперечного сечения струи на высоте $\text{h}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением неразрывности для потока несжимаемой жидкости и уравнением Бернулли.

1. Уравнение неразрывности связывает скорости потока ($v_1$ и $v_2$) и площади поперечного сечения ($S_1$ и $S_2$) в двух разных точках струи (у основания и на высоте $\text{h}$):$S_1 v_1 = S_2 v_2 = Q_V$, где $Q_V$ — объемный расход воды.

2. Объемный расход $Q_V$ связан с массовым расходом $Q_m$ через плотность воды $\rho$:$Q_V = \frac{Q_m}{\rho}$

3. Применим уравнение Бернулли для двух точек струи: у основания (где высота $h_1=0$) и на высоте $\text{h}$ (где высота $h_2=h$). Поскольку струя бьет в атмосферу, давление в обеих точках равно атмосферному ($p_1 = p_2 = p_{атм}$), поэтому его можно исключить из уравнения:$\frac{\rho v_1^2}{2} + \rho g h_1 = \frac{\rho v_2^2}{2} + \rho g h_2$$\frac{v_1^2}{2} = \frac{v_2^2}{2} + g h$Отсюда можно выразить квадрат скорости на высоте $\text{h}$: $v_2^2 = v_1^2 - 2gh$.

4. Найдем начальную скорость струи $v_1$ у основания, используя данные о расходе:$v_1 = \frac{Q_V}{S_1} = \frac{Q_m}{\rho S_1} = \frac{1 \text{ кг/с}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 1,5 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2} = \frac{1}{0,15} \text{ м/с} = \frac{20}{3}$ м/с $\approx 6,67$ м/с.

5. Теперь вычислим скорость $v_2$ на высоте $h=2$ м:$v_2^2 = (\frac{20}{3} \text{ м/с})^2 - 2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 2 \text{ м} = \frac{400}{9} - 39,2 \approx 44,44 - 39,2 = 5,24$ (м/с)$^2$.$v_2 = \sqrt{5,24}$ м/с $\approx 2,29$ м/с.

6. Наконец, найдем искомую площадь поперечного сечения струи $S_2$ на высоте $\text{h}$ из уравнения неразрывности:$S_2 = \frac{Q_V}{v_2} = \frac{Q_m / \rho}{v_2} = \frac{1 \text{ кг/с} / 1000 \text{ кг/м}^3}{2,29 \text{ м/с}} \approx \frac{0,001}{2,29}$ м$^2 \approx 4,37 \cdot 10^{-4}$ м$^2$.

Переведем результат в квадратные сантиметры для наглядности:$S_2 = 4,37 \cdot 10^{-4}$ м$^2 = 4,37$ см$^2$.

Ответ: Площадь поперечного сечения струи на высоте 2 м равна приблизительно $4,37$ см$^2$.

2. Дано:

$S_1 = 20$ см$^2$ (площадь широкой части трубы)

$S_2 = 10$ см$^2$ (площадь узкой части трубы)

$\Delta h = 20$ см (разность уровней воды)

$t = 1$ с (время)

$\rho = 1000$ кг/м$^3$ (плотность воды)

$g \approx 9,8$ м/с$^2$ (ускорение свободного падения)

Перевод в СИ:

$S_1 = 20$ см$^2 = 20 \cdot 10^{-4}$ м$^2 = 0,002$ м$^2$

$S_2 = 10$ см$^2 = 10 \cdot 10^{-4}$ м$^2 = 0,001$ м$^2$

$\Delta h = 20$ см = $0,2$ м

Найти:

$\text{V}$ — объём воды, протекающей через поперечное сечение за 1 с.

Решение:

Искомый объём воды, протекающей через поперечное сечение за 1 с, численно равен объемному расходу $Q_V$. Для его нахождения используем уравнение неразрывности и уравнение Бернулли для горизонтальной трубы переменного сечения (трубка Вентури).

1. Уравнение неразрывности для потока:$Q_V = S_1 v_1 = S_2 v_2$, где $v_1$ и $v_2$ — скорости течения в широкой и узкой частях трубы соответственно.

2. Уравнение Бернулли для двух точек на одной горизонтальной линии ($h_1=h_2$):$p_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \frac{\rho v_2^2}{2}$, где $p_1$ и $p_2$ - давления в широкой и узкой частях.

3. Разность давлений $p_1 - p_2$ можно выразить из уравнения Бернулли:$p_1 - p_2 = \frac{\rho}{2}(v_2^2 - v_1^2)$

4. Эта же разность давлений уравновешивается гидростатическим давлением столба жидкости высотой $\Delta h$ в вертикальных трубках:$p_1 - p_2 = \rho g \Delta h$

5. Приравнивая правые части двух последних выражений, получаем связь между скоростями и разностью уровней:$\rho g \Delta h = \frac{\rho}{2}(v_2^2 - v_1^2)$$2 g \Delta h = v_2^2 - v_1^2$

6. Выразим скорости $v_1$ и $v_2$ через объемный расход $Q_V$ из уравнения неразрывности:$v_1 = \frac{Q_V}{S_1}$, $v_2 = \frac{Q_V}{S_2}$Подставим их в предыдущее равенство:$2 g \Delta h = \left(\frac{Q_V}{S_2}\right)^2 - \left(\frac{Q_V}{S_1}\right)^2 = Q_V^2 \left(\frac{1}{S_2^2} - \frac{1}{S_1^2}\right)$

7. Выразим отсюда объемный расход $Q_V$:$Q_V = \sqrt{\frac{2 g \Delta h}{\frac{1}{S_2^2} - \frac{1}{S_1^2}}}$

8. Подставим числовые значения в системе СИ:$Q_V = \sqrt{\frac{2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,2 \text{ м}}{\frac{1}{(0,001 \text{ м}^2)^2} - \frac{1}{(0,002 \text{ м}^2)^2}}} = \sqrt{\frac{3,92}{10^6 - 0,25 \cdot 10^6}} = \sqrt{\frac{3,92}{0,75 \cdot 10^6}}$ м$^3$/с$Q_V \approx \sqrt{5,227 \cdot 10^{-6}}$ м$^3$/с $\approx 2,286 \cdot 10^{-3}$ м$^3$/с.

Объём воды $\text{V}$, протекающий за время $t=1$ с, равен:$V = Q_V \cdot t = 2,286 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3/\text{с} \cdot 1 \text{ с} \approx 2,29 \cdot 10^{-3}$ м$^3$.

Ответ: Объём воды, протекающей через поперечное сечение за 1 с, составляет приблизительно $2,29 \cdot 10^{-3}$ м$^3$ (или 2,29 л).