Вариант 2, страница 50 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Статика и гидромеханика. Самостоятельная работа № 3. Движение жидкости. Уравнение Бернулли - страница 50.

Условие.

Вариант 2

1. По горизонтальной трубе переменного сечения течёт вода. Скорость течения в широкой части трубы 5 м/с, в узкой — 20 м/с. Во сколько раз различаются диаметры сечений этой трубы?

2. Скорость истечения воды из бассейна по трубе, расположенной в основании бассейна, составляет 10 м/с. Определите глубину бассейна.

Решение.

1. Дано:
Скорость течения в широкой части трубы $v_1 = 5$ м/с
Скорость течения в узкой части трубы $v_2 = 20$ м/с

Найти:
Отношение диаметров $\frac{d_1}{d_2}$

Решение:
Для решения этой задачи используется уравнение неразрывности струи для несжимаемой жидкости. Оно утверждает, что объемный расход жидкости (объем, проходящий через поперечное сечение трубы в единицу времени) постоянен вдоль всей трубы. Математически это выражается как:
$A_1 v_1 = A_2 v_2$
где $A_1$ и $v_1$ — площадь поперечного сечения и скорость течения в широкой части, а $A_2$ и $v_2$ — в узкой.
Площадь поперечного сечения круглой трубы выражается через ее диаметр $\text{d}$ по формуле:
$A = \frac{\pi d^2}{4}$
Подставим это выражение в уравнение неразрывности для обеих частей трубы:
$\frac{\pi d_1^2}{4} v_1 = \frac{\pi d_2^2}{4} v_2$
Сократим общий множитель $\frac{\pi}{4}$:
$d_1^2 v_1 = d_2^2 v_2$
Нам необходимо найти, во сколько раз различаются диаметры, то есть найти отношение большего диаметра к меньшему, $\frac{d_1}{d_2}$. Выразим отношение квадратов диаметров из уравнения:
$\frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{v_2}{v_1}$
Чтобы найти отношение самих диаметров, извлечем квадратный корень из обеих частей равенства:
$\frac{d_1}{d_2} = \sqrt{\frac{v_2}{v_1}}$
Подставим числовые значения из условия задачи:
$\frac{d_1}{d_2} = \sqrt{\frac{20 \text{ м/с}}{5 \text{ м/с}}} = \sqrt{4} = 2$
Следовательно, диаметр широкой части трубы в 2 раза больше диаметра узкой части.

Ответ: диаметры сечений различаются в 2 раза.

2. Дано:
Скорость истечения воды $v = 10$ м/с

Найти:
Глубину бассейна $\text{h}$

Решение:
Для определения глубины бассейна воспользуемся формулой Торричелли, которая является следствием закона Бернулли для частного случая истечения жидкости из отверстия в широком сосуде. Формула связывает скорость истечения жидкости $\text{v}$ с высотой столба жидкости $\text{h}$ (глубиной) над отверстием:
$v = \sqrt{2gh}$
где $\text{g}$ — ускорение свободного падения.
Чтобы найти глубину $\text{h}$, нам нужно выразить ее из этой формулы. Для этого сначала возведем обе части уравнения в квадрат:
$v^2 = 2gh$
Теперь выразим $\text{h}$, разделив обе части на $2g$:
$h = \frac{v^2}{2g}$
Подставим известные значения. Ускорение свободного падения $\text{g}$ примем равным $10$ м/с², что является общепринятым приближением в подобных задачах для упрощения расчетов.
$h = \frac{(10 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{100 \text{ м}^2/\text{с}^2}{20 \text{ м/с}^2} = 5$ м
Таким образом, глубина бассейна составляет 5 метров.

Ответ: глубина бассейна 5 м.