Вариант 3, страница 49 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Статика и гидромеханика. Самостоятельная работа № 2. Гидростатика. Плавание тел - страница 49.

Условие.

Вариант 3

1. В U-образную трубку налили ртуть ($\rho_{\text{рт}} = 13600 \text{ кг/м}^3$), затем в каждое из колен налили керосин ($\rho_{\text{к}} = 800 \text{ кг/м}^3$). Высота столба керосина в одном колене 53,4 см, а в другом колене 0,5 м. Определите разность уровней ртути.

2. Тело, плотность вещества которого $700 \text{ кг/м}^3$, опущено в воду ($\rho_{\text{в}} = 1000 \text{ кг/м}^3$). Какая часть тела окажется в воде?

Решение.

1. Дано:
Плотность ртути: $\rho_{рт} = 13600 \text{ кг/м}^3$
Плотность керосина: $\rho_к = 800 \text{ кг/м}^3$
Высота столба керосина в первом колене: $h_1 = 53,4 \text{ см}$
Высота столба керосина во втором колене: $h_2 = 0,5 \text{ м}$

Перевод в систему СИ:

$h_1 = 53,4 \text{ см} = 0,534 \text{ м}$

Найти:
Разность уровней ртути $\Delta h_{рт}$.

Решение:
Для U-образной трубки (сообщающихся сосудов) давление на одном и том же горизонтальном уровне в покоящейся жидкости одинаково. Пусть в левое колено налит столб керосина высотой $h_1$, а в правое — высотой $h_2$. Поскольку $h_1 > h_2$, столб керосина в левом колене окажет большее давление и вытеснит ртуть, поэтому уровень ртути в левом колене будет ниже, чем в правом.
Выберем в качестве уровня отсчета горизонтальную плоскость, проходящую через границу раздела керосина и ртути в левом колене (где уровень ртути ниже).
Давление в левом колене на этом уровне создается столбом керосина высотой $h_1$:
$p_1 = p_{атм} + \rho_к g h_1$
Давление в правом колене на этом же уровне создается столбом керосина высотой $h_2$ и столбом ртути высотой $\Delta h_{рт}$, где $\Delta h_{рт}$ — искомая разность уровней ртути.
$p_2 = p_{атм} + \rho_к g h_2 + \rho_{рт} g \Delta h_{рт}$
Так как давления на одном уровне равны, $p_1 = p_2$:
$p_{атм} + \rho_к g h_1 = p_{атм} + \rho_к g h_2 + \rho_{рт} g \Delta h_{рт}$
Сократив атмосферное давление $p_{атм}$ и ускорение свободного падения $\text{g}$, получим:
$\rho_к h_1 = \rho_к h_2 + \rho_{рт} \Delta h_{рт}$
Выразим отсюда разность уровней ртути $\Delta h_{рт}$:
$\rho_{рт} \Delta h_{рт} = \rho_к h_1 - \rho_к h_2 = \rho_к (h_1 - h_2)$
$\Delta h_{рт} = \frac{\rho_к (h_1 - h_2)}{\rho_{рт}}$
Подставим числовые значения в системе СИ:
$\Delta h_{рт} = \frac{800 \text{ кг/м}^3 \cdot (0,534 \text{ м} - 0,5 \text{ м})}{13600 \text{ кг/м}^3} = \frac{800 \cdot 0,034}{13600} = \frac{27,2}{13600} = 0,002 \text{ м}$

Ответ: разность уровней ртути составляет 0,002 м (или 2 мм).

2. Дано:
Плотность вещества тела: $\rho_т = 700 \text{ кг/м}^3$
Плотность воды: $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$

Найти:
Какая часть тела окажется в воде (отношение объема погруженной части тела $V_{погр}$ к полному объему тела $V_т$).

Решение:
Поскольку плотность тела меньше плотности воды ($\rho_т < \rho_в$), тело будет плавать на поверхности. Условием плавания тела является равенство силы тяжести, действующей на тело, и выталкивающей силы (силы Архимеда), действующей на погруженную часть тела.
Сила тяжести: $F_т = m_т g = \rho_т V_т g$, где $V_т$ - полный объем тела.
Сила Архимеда: $F_А = \rho_в g V_{погр}$, где $V_{погр}$ - объем погруженной в воду части тела.
Приравняем эти силы: $F_т = F_А$
$\rho_т V_т g = \rho_в g V_{погр}$
Сократив ускорение свободного падения $\text{g}$, получим:
$\rho_т V_т = \rho_в V_{погр}$
Искомая часть тела, которая окажется в воде, это отношение $\frac{V_{погр}}{V_т}$. Выразим его из полученного уравнения:
$\frac{V_{погр}}{V_т} = \frac{\rho_т}{\rho_в}$
Подставим числовые значения:
$\frac{V_{погр}}{V_т} = \frac{700 \text{ кг/м}^3}{1000 \text{ кг/м}^3} = 0,7$
Это означает, что 70% объема тела будет находиться под водой.

Ответ: в воде окажется 0,7 (или 7/10) часть тела.