Вариант 1, страница 48 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Статика и гидромеханика. Самостоятельная работа № 1. Уравнение сил. Условия равновесия - страница 48.

Условие.

Вариант 1

1. Груз висит на двух нитях в равновесии так, как показано на рисунке. Определите соотношение сил натяжения нитей $\vec{T_1}$ и $\vec{T_2}$, если угол $\alpha = 60^{\circ}$, угол $\beta = 45^{\circ}$.

2. Рычаг, длина которого $25$ см, находится в горизонтальном равновесии под действием двух сил, приложенных к концам рычага. Первая сила равна $ ext{4}$ Н, вторая — $ ext{6}$ Н. На сколько плечо первой силы отличается от плеча второй?

Решение.

1. Дано:

Угол $\alpha = 60^\circ$

Угол $\beta = 45^\circ$

Найти:

Соотношение сил натяжения $\frac{T_1}{T_2}$.

Решение:

Груз находится в состоянии равновесия, следовательно, согласно первому закону Ньютона, векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю. На груз действуют три силы: сила тяжести $\vec{F_g}$ (или вес груза $\vec{P}$), направленная вертикально вниз, и две силы натяжения нитей $\vec{T_1}$ и $\vec{T_2}$.

$\vec{T_1} + \vec{T_2} + \vec{F_g} = 0$

Для решения задачи введем систему координат: ось Ox направим горизонтально вправо, а ось Oy — вертикально вверх. Запишем условие равновесия в проекциях на эти оси.

Проекция на ось Ox:

$\sum F_x = T_{2x} + T_{1x} = 0$

$T_2 \cos(\beta) - T_1 \cos(\alpha) = 0$

Проекция на ось Oy:

$\sum F_y = T_{1y} + T_{2y} - F_g = 0$

$T_1 \sin(\alpha) + T_2 \sin(\beta) - mg = 0$

Чтобы найти соотношение сил $\frac{T_1}{T_2}$, нам достаточно уравнения для проекций на ось Ox, так как в него не входит неизвестная сила тяжести.

$T_2 \cos(\beta) = T_1 \cos(\alpha)$

Отсюда выражаем искомое соотношение:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\cos(\beta)}{\cos(\alpha)}$

Подставляем значения углов $\alpha = 60^\circ$ и $\beta = 45^\circ$:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\cos(45^\circ)}{\cos(60^\circ)}$

Мы знаем, что $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$

Ответ: Соотношение сил натяжения нитей $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{2}$.

2. Дано:

Длина рычага $L = 25 \text{ см}$

Первая сила $F_1 = 4 \text{ Н}$

Вторая сила $F_2 = 6 \text{ Н}$

$L = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$

Найти:

Разность плеч сил $|\Delta l| = |l_1 - l_2|$.

Решение:

Рычаг находится в равновесии, когда сумма моментов сил, вращающих его по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, вращающих его против часовой стрелки. Пусть $l_1$ и $l_2$ — плечи первой и второй сил соответственно. Точка опоры находится между точками приложения сил.

Условие равновесия рычага (правило моментов):

$M_1 = M_2$

$F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2$

Поскольку силы приложены к концам рычага, сумма длин плеч равна общей длине рычага:

$l_1 + l_2 = L$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $l_1$ и $l_2$:

$\begin{cases} F_1 l_1 = F_2 l_2 \\ l_1 + l_2 = L \end{cases}$

Подставим известные значения, используя данные в системе СИ:

$\begin{cases} 4 \cdot l_1 = 6 \cdot l_2 \\ l_1 + l_2 = 0.25 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $l_1$:

$l_1 = \frac{6}{4} l_2 = 1.5 l_2$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$1.5 l_2 + l_2 = 0.25$

$2.5 l_2 = 0.25$

$l_2 = \frac{0.25}{2.5} = 0.1 \text{ м}$

Теперь найдем длину первого плеча $l_1$:

$l_1 = 1.5 \cdot l_2 = 1.5 \cdot 0.1 = 0.15 \text{ м}$

Найдем, на сколько плечо первой силы отличается от плеча второй:

$\Delta l = l_1 - l_2 = 0.15 \text{ м} - 0.1 \text{ м} = 0.05 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $0.05 \text{ м} = 5 \text{ см}$.

Ответ: Плечо первой силы отличается от плеча второй на 5 см.