Вариант 5*, страница 47 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Законы сохранения в механике. Контрольная работа. Законы сохранения в механике - страница 47.

Условие.

Вариант 5*

1. С балкона бросают мяч под углом к горизонту вниз. Как при движении мяча изменяются его кинетическая энергия и проекция скорости на горизонтальную ось? Для каждой величины определите соответствующий характер её изменения:

1) увеличивается

2) уменьшается

3) не изменяется

Запишите цифры выбранных вариантов для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

2. Тело бросают вертикально вверх со скоростью 20 м/с. На какой высоте скорость тела уменьшится в два раза?

3. Маленький брусок соскальзывает по гладкой наклонной плоскости, высота которой 80 см, и попадает на горизонтальную шероховатую поверхность. Какое расстояние пройдёт брусок по горизонтали, если коэффициент трения между бруском и шероховатой поверхностью равен 0,2?

4. Два упругих шарика массами $m_1 = 2m_2$ и $m_2$ движутся навстречу друг другу со скоростями $v_1 = 5 \text{ м/с}$ и $v_2 = 1 \text{ м/с}$ и сталкиваются. Определите скорости шариков после соударения.

Решение.

1. Рассмотрим изменение каждой величины по отдельности.

Кинетическая энергия
Кинетическая энергия тела определяется формулой $E_k = \frac{1}{2}mv^2$, где $\text{m}$ - масса тела, а $\text{v}$ - его скорость. При броске мяча под углом к горизонту вниз на него действует сила тяжести, направленная вертикально вниз. Эта сила сообщает мячу ускорение свободного падения $\text{g}$. Вертикальная составляющая скорости мяча $v_y$ будет со временем увеличиваться. Горизонтальная составляющая скорости $v_x$ (в отсутствие сопротивления воздуха) остается постоянной, так как в горизонтальном направлении силы не действуют. Полная скорость мяча $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$. Поскольку $v_x$ постоянна, а $v_y$ увеличивается, полная скорость $\text{v}$ также увеличивается. Следовательно, кинетическая энергия мяча, зависящая от квадрата скорости, будет увеличиваться.

Проекция скорости на горизонтальную ось
Как было сказано выше, при движении тела, брошенного под углом к горизонту, в отсутствие сопротивления воздуха на него действует только сила тяжести, направленная вертикально вниз. В горизонтальном направлении никакие силы не действуют. Согласно второму закону Ньютона, если равнодействующая сил в некотором направлении равна нулю, то ускорение в этом направлении также равно нулю. Это означает, что проекция скорости на горизонтальную ось ($v_x$) не изменяется в процессе полета.

Таким образом, кинетическая энергия увеличивается (1), а проекция скорости на горизонтальную ось не изменяется (3).

Ответ: 13

2. Дано:

$v_0 = 20$ м/с
$v = \frac{v_0}{2}$
$g \approx 10$ м/с²

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

$\text{h}$ - ?

Решение:

При движении тела, брошенного вертикально вверх, его скорость уменьшается под действием силы тяжести. Для нахождения высоты, на которой скорость уменьшится, воспользуемся формулой, связывающей перемещение, скорость и ускорение без учета времени. Движение направлено вверх, ускорение свободного падения - вниз, поэтому $a = -g$.

$v^2 = v_0^2 - 2gh$

Отсюда выразим высоту $\text{h}$:

$h = \frac{v_0^2 - v^2}{2g}$

По условию задачи, конечная скорость $\text{v}$ в два раза меньше начальной: $v = \frac{v_0}{2} = \frac{20 \text{ м/с}}{2} = 10 \text{ м/с}$.

Подставим известные значения в формулу:

$h = \frac{(20 \text{ м/с})^2 - (10 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{400 - 100}{20} = \frac{300}{20} = 15$ м.

Ответ: 15 м.

3. Дано:

$h = 80$ см
$\mu = 0,2$

Перевод в СИ:
$h = 80 \text{ см} = 0,8 \text{ м}$

Найти:

$\text{s}$ - ?

Решение:

Задачу можно решить, используя закон сохранения и превращения энергии. Полная механическая энергия бруска в начальный момент времени на высоте $\text{h}$ равна его потенциальной энергии $E_1 = mgh$. При соскальзывании по гладкой наклонной плоскости эта энергия переходит в кинетическую энергию $E_2 = \frac{1}{2}mv^2$ у основания плоскости.

$mgh = \frac{1}{2}mv^2$

На горизонтальной шероховатой поверхности вся кинетическая энергия бруска расходуется на работу против силы трения $A_{тр} = F_{тр} \cdot s$. Сила трения равна $F_{тр} = \mu N = \mu mg$. Таким образом, работа силы трения равна $A_{тр} = \mu mgs$.

Приравниваем начальную потенциальную энергию работе силы трения, так как вся энергия в итоге перешла в тепло:

$mgh = \mu mgs$

Сократив $mg$ с обеих сторон, получим:

$h = \mu s$

Отсюда выражаем искомое расстояние $\text{s}$:

$s = \frac{h}{\mu}$

Подставляем числовые значения:

$s = \frac{0,8 \text{ м}}{0,2} = 4 \text{ м}$

Ответ: 4 м.

4. Дано:

$m_1 = 2m_2$
$v_1 = 5$ м/с
$v_2 = 1$ м/с

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

$u_1$ - ?, $u_2$ - ?

Решение:

Рассматривается абсолютно упругое центральное соударение двух шариков. В этом случае выполняются законы сохранения импульса и кинетической энергии.

Направим ось OX в сторону движения первого шарика. Тогда проекции скоростей на эту ось до столкновения равны $v_{1x} = v_1 = 5$ м/с, а $v_{2x} = -v_2 = -1$ м/с (так как шарики движутся навстречу друг другу). Обозначим массы шариков как $m_2 = m$, тогда $m_1 = 2m$.

1. Закон сохранения импульса:

$m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x} = m_1 u_{1x} + m_2 u_{2x}$

$2m \cdot 5 + m \cdot (-1) = 2m u_{1x} + m u_{2x}$

Разделив на $\text{m}$, получим:

$10 - 1 = 2u_{1x} + u_{2x} \implies 9 = 2u_{1x} + u_{2x}$ (1)

2. Закон сохранения кинетической энергии:

$\frac{m_1 v_{1x}^2}{2} + \frac{m_2 v_{2x}^2}{2} = \frac{m_1 u_{1x}^2}{2} + \frac{m_2 u_{2x}^2}{2}$

$\frac{2m \cdot 5^2}{2} + \frac{m \cdot (-1)^2}{2} = \frac{2m u_{1x}^2}{2} + \frac{m u_{2x}^2}{2}$

Разделив на $m/2$, получим:

$2 \cdot 25 + 1 = 2u_{1x}^2 + u_{2x}^2 \implies 51 = 2u_{1x}^2 + u_{2x}^2$ (2)

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $u_{1x}$ и $u_{2x}$. Из уравнения (1) выразим $u_{2x} = 9 - 2u_{1x}$ и подставим в уравнение (2):

$51 = 2u_{1x}^2 + (9 - 2u_{1x})^2$

$51 = 2u_{1x}^2 + 81 - 36u_{1x} + 4u_{1x}^2$

$6u_{1x}^2 - 36u_{1x} + 30 = 0$

Разделим все уравнение на 6:

$u_{1x}^2 - 6u_{1x} + 5 = 0$

Это квадратное уравнение имеет два корня: $u_{1x} = 5$ и $u_{1x} = 1$. Корень $u_{1x} = 5$ м/с соответствует состоянию до столкновения. Следовательно, скорость первого шарика после столкновения $u_{1x} = 1$ м/с.

Теперь найдем скорость второго шарика $u_{2x}$, подставив найденное значение $u_{1x}$ в выражение для $u_{2x}$:

$u_{2x} = 9 - 2 \cdot 1 = 7$ м/с.

Положительные знаки скоростей $u_{1x}$ и $u_{2x}$ означают, что после столкновения оба шарика будут двигаться в положительном направлении оси OX, то есть в направлении первоначального движения первого, более массивного шарика.

Ответ: Скорость первого шарика после соударения равна 1 м/с, скорость второго шарика - 7 м/с. Оба шарика будут двигаться в направлении первоначального движения первого шарика.