Вариант 1, страница 45 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Контрольная работа. Законы сохранения в механике. Законы сохранения в механике. Механика - страница 45.

Условие.

Вариант 1

1. На горизонтальную поверхность положили деревянный шар, затем его заменили на стальной шар той же массы. Как при этом изменились сила тяжести и механическая энергия? Для каждой величины определите соответствующий характер её изменения:

1) увеличилась

2) уменьшилась

3) не изменилась

Запишите выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

2. Самолёт при посадке обладает скоростью 108 км/ч. До полной остановки он проходит 200 м. Определите коэффициент трения колёс самолёта о покрытие взлётно-посадочной полосы.

3. Тело свободно падает с высоты 20 м. На какой высоте кинетическая энергия этого тела будет равна $\frac{1}{3}$ потенциальной?

4. На гладкой горизонтальной поверхности находится брусок массой 400 г. Брусок соединён с пружиной, жёсткость которой 5000 Н/м. Второй конец пружины прикреплён к вертикальной стенке. Пластилиновый шарик массой 100 г, летящий горизонтально со скоростью 1,5 м/с, попадает в брусок. Определите максимальное сжатие пружины.

Решение.

1. Сила тяжести: Сила тяжести определяется по формуле $F_g = mg$, где $\text{m}$ – масса тела, а $\text{g}$ – ускорение свободного падения. По условию задачи, масса шара не изменилась ($m_{деревянного} = m_{стального}$). Ускорение свободного падения $\text{g}$ также является константой. Следовательно, сила тяжести, действующая на шар, не изменилась.
Механическая энергия: Полная механическая энергия тела $\text{E}$ складывается из его кинетической и потенциальной энергии: $E = E_k + E_p$. Поскольку шар положили на горизонтальную поверхность, его скорость равна нулю, и, следовательно, кинетическая энергия $E_k = 0$. Потенциальная энергия тела, центр масс которого находится на некоторой высоте $\text{h}$ над нулевым уровнем (поверхностью), определяется как $E_p = mgh$. Для шара, лежащего на поверхности, высота его центра масс равна его радиусу $\text{R}$. Таким образом, $E = E_p = mgR$. Плотность стали значительно больше плотности дерева ($\rho_{стали} > \rho_{дерева}$). Так как массы шаров одинаковы ($m = \rho V$, где $\text{V}$ - объем), то объём деревянного шара должен быть больше объёма стального ($V_{деревянного} > V_{стального}$). Из формулы объёма шара $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ следует, что радиус деревянного шара больше радиуса стального ($R_{деревянного} > R_{стального}$). Следовательно, потенциальная (а значит и полная механическая) энергия деревянного шара ($E_{деревянного} = mgR_{деревянного}$) была больше, чем у стального ($E_{стального} = mgR_{стального}$). При замене деревянного шара на стальной механическая энергия уменьшилась.

Ответ: 32

2. Дано:

$v_0 = 108$ км/ч
$S = 200$ м
$v = 0$ м/с
$g \approx 10$ м/с$^2$

Перевод в СИ:

$v_0 = 108 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 30$ м/с

Найти:

$\mu$ - ?

Решение:

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Изменение кинетической энергии самолёта равно работе сил, действующих на него. В горизонтальном направлении на самолёт действует только сила трения, работа которой отрицательна.
$\Delta E_k = A_{тр}$
$E_{k,кон} - E_{k,нач} = -F_{тр} \cdot S$
Конечная кинетическая энергия $E_{k,кон} = 0$, так как самолёт остановился. Начальная кинетическая энергия $E_{k,нач} = \frac{mv_0^2}{2}$.
$0 - \frac{mv_0^2}{2} = -F_{тр} \cdot S$
$\frac{mv_0^2}{2} = F_{тр} \cdot S$
Сила трения скольжения определяется как $F_{тр} = \mu N$. На горизонтальной поверхности сила нормальной реакции $\text{N}$ равна силе тяжести $mg$, то есть $N=mg$.
$F_{тр} = \mu mg$
Подставим выражение для силы трения в уравнение работы и энергии:
$\frac{mv_0^2}{2} = \mu mgS$
Масса $\text{m}$ сокращается:
$\frac{v_0^2}{2} = \mu gS$
Выразим коэффициент трения $\mu$:
$\mu = \frac{v_0^2}{2gS}$
Подставим числовые значения:
$\mu = \frac{(30 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 200 \text{ м}} = \frac{900}{4000} = 0.225$

Ответ: 0.225

3. Дано:

$H = 20$ м
$E_k = \frac{1}{3}E_p$

Найти:

$\text{h}$ - ?

Решение:

При свободном падении тела (без учёта сопротивления воздуха) выполняется закон сохранения полной механической энергии.
Полная механическая энергия $E_{полн}$ в начальный момент времени (на высоте $\text{H}$) равна начальной потенциальной энергии, так как начальная скорость равна нулю ($v_0 = 0$):
$E_{полн} = E_{p0} + E_{k0} = mgH + 0 = mgH$
На искомой высоте $\text{h}$ полная механическая энергия тела будет равна сумме его потенциальной ($E_p$) и кинетической ($E_k$) энергий:
$E_{полн} = E_p + E_k = mgh + E_k$
По закону сохранения энергии, $mgH = mgh + E_k$.
По условию задачи, на высоте $\text{h}$ кинетическая энергия равна $1/3$ потенциальной: $E_k = \frac{1}{3}E_p = \frac{1}{3}mgh$.
Подставим это условие в закон сохранения энергии:
$mgH = mgh + \frac{1}{3}mgh$
Сократим обе части уравнения на $mg$:
$H = h + \frac{1}{3}h$
$H = \frac{4}{3}h$
Отсюда найдём высоту $\text{h}$:
$h = \frac{3}{4}H$
Подставим значение $\text{H}$:
$h = \frac{3}{4} \cdot 20 \text{ м} = 15$ м

Ответ: 15 м

4. Дано:

$m_1 = 400$ г
$k = 5000$ Н/м
$m_2 = 100$ г
$v_2 = 1,5$ м/с
$v_1 = 0$ м/с

Перевод в СИ:

$m_1 = 0,4$ кг
$m_2 = 0,1$ кг

Найти:

$\Delta x_{max}$ - ?

Решение:

Задачу можно разделить на два этапа: абсолютно неупругое столкновение шарика и бруска, и последующее сжатие пружины.
1. Неупругое столкновение.
Во время столкновения выполняется закон сохранения импульса для системы "шарик + брусок", так как внешними горизонтальными силами можно пренебречь (столкновение происходит очень быстро).
Импульс системы до столкновения: $p_{до} = m_1v_1 + m_2v_2 = 0 + m_2v_2 = m_2v_2$.
После столкновения шарик прилипает к бруску, и они движутся вместе с общей скоростью $\text{u}$. Импульс системы после столкновения: $p_{после} = (m_1 + m_2)u$.
По закону сохранения импульса $p_{до} = p_{после}$:
$m_2v_2 = (m_1 + m_2)u$
Отсюда находим скорость $\text{u}$ бруска с шариком сразу после столкновения:
$u = \frac{m_2v_2}{m_1 + m_2} = \frac{0,1 \text{ кг} \cdot 1,5 \text{ м/с}}{0,4 \text{ кг} + 0,1 \text{ кг}} = \frac{0,15}{0,5} = 0,3$ м/с
2. Сжатие пружины.
После столкновения система "брусок + шарик" обладает кинетической энергией, которая переходит в потенциальную энергию сжатой пружины. Так как поверхность гладкая, выполняется закон сохранения механической энергии.
Начальная энергия системы (сразу после удара): $E_{нач} = E_k = \frac{(m_1 + m_2)u^2}{2}$. Потенциальная энергия пружины равна нулю.
Конечная энергия системы (в момент максимального сжатия $\Delta x_{max}$): скорость системы равна нулю, вся кинетическая энергия перешла в потенциальную энергию пружины. $E_{кон} = E_p = \frac{k(\Delta x_{max})^2}{2}$.
По закону сохранения энергии $E_{нач} = E_{кон}$:
$\frac{(m_1 + m_2)u^2}{2} = \frac{k(\Delta x_{max})^2}{2}$
$(m_1 + m_2)u^2 = k(\Delta x_{max})^2$
Выразим максимальное сжатие $\Delta x_{max}$:
$\Delta x_{max} = \sqrt{\frac{(m_1 + m_2)u^2}{k}} = u \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{k}}$
Подставим числовые значения:
$\Delta x_{max} = 0,3 \text{ м/с} \cdot \sqrt{\frac{0,4 \text{ кг} + 0,1 \text{ кг}}{5000 \text{ Н/м}}} = 0,3 \cdot \sqrt{\frac{0,5}{5000}} = 0,3 \cdot \sqrt{\frac{1}{10000}} = 0,3 \cdot \frac{1}{100} = 0,003$ м.

Ответ: 0,003 м