Вариант 5*, страница 45 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 8. Момент импульса. Кинетическая энергия вращающегося тела. Законы сохранения в механике. Механика - страница 45.

Условие.

Вариант 5*

1. Две бочки — пустая и полная — скатываются по наклонной плоскости. Какая из бочек скатится быстрее и почему?

2. По горизонтальной поверхности без проскальзывания с постоянной скоростью катятся диск и обруч с одинаковыми массами. Кинетическая энергия обруча составляет 60 Дж. Определите кинетическую энергию диска.

Решение.

1. Две бочки — пустая и полная — скатываются по наклонной плоскости. Какая из бочек скатится быстрее и почему?

Быстрее скатится полная бочка. Причина кроется в распределении массы и, как следствие, в моменте инерции.

При скатывании с наклонной плоскости начальная потенциальная энергия тела $E_p = mgh$ переходит в кинетическую энергию, которая состоит из энергии поступательного движения $E_{к, \text{пост}} = \frac{1}{2}mv^2$ и энергии вращательного движения $E_{к, \text{вращ}} = \frac{1}{2}I\omega^2$.

По закону сохранения энергии:

$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$

где $\text{m}$ - масса бочки, $\text{g}$ - ускорение свободного падения, $\text{h}$ - начальная высота, $\text{v}$ - линейная скорость центра масс, $\text{I}$ - момент инерции, $\omega$ - угловая скорость. При скатывании без проскальзывания $v = \omega R$, где $\text{R}$ - радиус бочки. Момент инерции для тел цилиндрической формы можно выразить как $I = k m R^2$, где $\text{k}$ - безразмерный коэффициент, зависящий от распределения массы.

Подставив эти соотношения в закон сохранения энергии, получим выражение для скорости в конце спуска:

$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(k m R^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2(1+k)$

$v = \sqrt{\frac{2gh}{1+k}}$

Из этой формулы видно, что конечная скорость не зависит ни от массы $\text{m}$, ни от радиуса $\text{R}$ бочки, а определяется только высотой $\text{h}$ и коэффициентом $\text{k}$, который характеризует распределение массы.

1. Пустая бочка может быть смоделирована как тонкостенный полый цилиндр. Для него момент инерции $I_{\text{пуст}} = m R^2$, следовательно, коэффициент $k_{\text{пуст}} = 1$.

2. Полная бочка (заполненная однородным веществом) моделируется как сплошной цилиндр. Для него момент инерции $I_{\text{полн}} = \frac{1}{2} m R^2$, следовательно, коэффициент $k_{\text{полн}} = \frac{1}{2}$.

Чем меньше коэффициент $\text{k}$, тем больше знаменатель $(1+k)$ будет меньше, и тем больше будет конечная скорость $\text{v}$. Так как $k_{\text{полн}} < k_{\text{пуст}}$ ($\frac{1}{2} < 1$), то полная бочка будет иметь большую скорость и скатится быстрее.

Физический смысл этого заключается в том, что у полной бочки (сплошного цилиндра) при той же массе и радиусе момент инерции меньше. Это означает, что для придания ей той же угловой скорости требуется меньше энергии. Следовательно, большая часть потенциальной энергии преобразуется в энергию поступательного движения, что и приводит к большей линейной скорости.

Ответ: Полная бочка скатится быстрее, так как у нее (модель сплошного цилиндра) момент инерции меньше, чем у пустой бочки (модель полого цилиндра). Это означает, что меньшая часть энергии тратится на вращение, а большая — на поступательное движение, что приводит к большему ускорению и большей итоговой скорости.

2. По горизонтальной поверхности без проскальзывания с постоянной скоростью катятся диск и обруч с одинаковыми массами. Кинетическая энергия обруча составляет 60 Дж. Определите кинетическую энергию диска.

Дано:

$m_д = m_о = m$

$v_д = v_о = v$

$E_{к,о} = 60 \text{ Дж}$

Все данные уже в системе СИ.

Найти:

$E_{к,д}$ - ?

Решение:

Полная кинетическая энергия тела, катящегося без проскальзывания, является суммой кинетической энергии поступательного движения центра масс и кинетической энергии вращательного движения относительно центра масс.

$E_к = E_{к, \text{пост}} + E_{к, \text{вращ}} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$

где $\text{m}$ - масса тела, $\text{v}$ - линейная скорость центра масс, $\text{I}$ - момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, $\omega$ - угловая скорость. Для качения без проскальзывания линейная и угловая скорости связаны соотношением $v = \omega R$, откуда $\omega = v/R$.

Запишем формулу для кинетической энергии обруча. Обруч можно считать тонкостенным полым цилиндром, момент инерции которого $I_о = mR^2$.

$E_{к,о} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I_о\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$

По условию, $E_{к,о} = 60 \text{ Дж}$, следовательно:

$mv^2 = 60 \text{ Дж}$

Теперь запишем формулу для кинетической энергии диска. Диск является сплошным цилиндром, его момент инерции $I_д = \frac{1}{2}mR^2$.

$E_{к,д} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I_д\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$

Подставим найденное значение $mv^2$ в выражение для энергии диска:

$E_{к,д} = \frac{3}{4} \cdot (60 \text{ Дж}) = 3 \cdot 15 \text{ Дж} = 45 \text{ Дж}$

Ответ: 45 Дж.