Вариант 3, страница 43 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Законы сохранения в механике. Самостоятельная работа № 7. Момент инерции - страница 43.

Условие.

Вариант 3

1. В вершинах правильного треугольника со стороной 50 см закреплены одинаковые маленькие шарики массой по 200 г каждый. Определите момент инерции системы относительно оси, проходящей через одну из вершин треугольника перпендикулярно его плоскости.

2. Диск массой 3 кг и радиусом 80 см вращается вокруг оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости. Определите момент инерции диска.

Решение.

1. В вершинах правильного треугольника со стороной 50 см закреплены одинаковые маленькие шарики массой по 200 г каждый. Определите момент инерции системы относительно оси, проходящей через одну из вершин треугольника перпендикулярно его плоскости.

Дано:

Сторона треугольника $a = 50$ см = $0.5$ м
Масса каждого шарика $m = 200$ г = $0.2$ кг
Количество шариков $n = 3$

Найти:

Момент инерции системы $\text{I}$

Решение:

Момент инерции системы материальных точек является аддитивной величиной. Он равен сумме моментов инерции всех точек, входящих в систему, относительно одной и той же оси. Момент инерции отдельной материальной точки вычисляется по формуле $I_i = m_i r_i^2$, где $m_i$ — масса точки, а $r_i$ — ее расстояние до оси вращения.

Таким образом, полный момент инерции системы из трех шариков: $I = \sum_{i=1}^{3} I_i = I_1 + I_2 + I_3$.

Поскольку шарики можно считать материальными точками, а их массы одинаковы, $m_1 = m_2 = m_3 = m$.

Ось вращения проходит через одну из вершин треугольника, перпендикулярно его плоскости. Обозначим эту вершину как вершину 1. Тогда расстояния от каждого шарика до оси вращения будут следующими:

1. Для шарика, находящегося в вершине 1, через которую проходит ось вращения, расстояние до оси равно нулю: $r_1 = 0$.

2. Для двух других шариков (в вершинах 2 и 3) расстояние до оси вращения (проходящей через вершину 1) равно длине стороны правильного треугольника: $r_2 = a$ и $r_3 = a$.

Подставим эти значения в формулу для полного момента инерции системы:

$I = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + m_3 r_3^2 = m \cdot 0^2 + m \cdot a^2 + m \cdot a^2 = 0 + ma^2 + ma^2 = 2ma^2$.

Теперь выполним вычисления, подставив числовые значения в системе СИ:

$I = 2 \cdot 0.2 \, \text{кг} \cdot (0.5 \, \text{м})^2 = 2 \cdot 0.2 \cdot 0.25 = 0.4 \cdot 0.25 = 0.1 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2$.

Ответ: $0.1 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2$.

2. Диск массой 3 кг и радиусом 80 см вращается вокруг оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости. Определите момент инерции диска.

Дано:

Масса диска $M = 3$ кг
Радиус диска $R = 80$ см = $0.8$ м

Найти:

Момент инерции диска $\text{I}$

Решение:

Момент инерции сплошного однородного диска относительно оси, проходящей через его центр масс и перпендикулярной его плоскости, является табличной величиной и вычисляется по формуле:

$I = \frac{1}{2} M R^2$

Подставим данные из условия задачи в эту формулу, предварительно переведя все величины в систему СИ:

$I = \frac{1}{2} \cdot 3 \, \text{кг} \cdot (0.8 \, \text{м})^2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 0.64 = 1.5 \cdot 0.64 = 0.96 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2$.

Ответ: $0.96 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2$.