Вариант 2, страница 43 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Законы сохранения в механике. Самостоятельная работа № 7. Момент инерции - страница 43.

Условие.

Вариант 2

1. Четыре одинаковых шарика массой по 200 г каждый расположены в вершинах квадрата со стороной 20 см. Определите момент инерции данной системы, если ось вращения проходит через точку пересечения диагоналей квадрата перпендикулярно его плоскости.

2. Тонкий стержень длиной 1 м и массой 600 г вращается вокруг оси, проходящей через его середину перпендикулярно стержню. Определите его момент инерции.

Решение.

1. Дано:
Количество шариков, $n = 4$
Масса каждого шарика, $m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$
Сторона квадрата, $a = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

Найти:
Момент инерции системы, $I - ?$

Решение:
Момент инерции системы материальных точек определяется как сумма моментов инерции каждой точки относительно оси вращения. Поскольку шарики можно считать материальными точками, их момент инерции вычисляется по формуле $I_i = m_i r_i^2$, где $r_i$ – расстояние от i-той точки до оси вращения.
Общий момент инерции системы: $I = \sum_{i=1}^{4} m_i r_i^2$.
Так как все шарики одинаковы ($m_1=m_2=m_3=m_4=m$) и расположены на одинаковом расстоянии от оси вращения ($r_1=r_2=r_3=r_4=r$), проходящей через центр квадрата, формула упрощается до: $I = 4mr^2$.
Расстояние $\text{r}$ от центра квадрата (точки пересечения диагоналей) до любой из его вершин равно половине длины диагонали $\text{d}$.
Длину диагонали квадрата найдем по теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, следовательно, $d = a\sqrt{2}$.
Тогда расстояние $\text{r}$ до оси вращения: $r = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Подставим выражение для $\text{r}$ в формулу момента инерции:
$I = 4m \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 4m \frac{a^2 \cdot 2}{4} = 2ma^2$.
Выполним вычисления, подставив числовые значения в систему СИ:
$I = 2 \cdot 0.2 \text{ кг} \cdot (0.2 \text{ м})^2 = 0.4 \cdot 0.04 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 = 0.016 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$.

Ответ: $0.016 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$.

2. Дано:
Длина стержня, $L = 1 \text{ м}$
Масса стержня, $M = 600 \text{ г} = 0.6 \text{ кг}$

Найти:
Момент инерции стержня, $I - ?$

Решение:
Момент инерции тонкого однородного стержня массой $\text{M}$ и длиной $\text{L}$ относительно оси, проходящей через его середину (центр масс) и перпендикулярной ему, является табличной величиной и вычисляется по формуле:
$I = \frac{1}{12}ML^2$.
Подставим в формулу значения из условия задачи, переведенные в систему СИ:
$I = \frac{1}{12} \cdot 0.6 \text{ кг} \cdot (1 \text{ м})^2 = \frac{0.6}{12} \text{ кг} \cdot \text{м}^2 = 0.05 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$.

Ответ: $0.05 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$.