Вариант 4, страница 42 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Законы сохранения в механике. Самостоятельная работа № 6. Работа силы. Закон сохранения механической энергии - страница 42.

Условие.

Вариант 4

1. Автомобиль массой 2 т движется с выключенным двигателем до полной остановки. Определите скорость автомобиля в начальный момент торможения, если работа сил сопротивления составляет $10^5$ Дж.

2. Тело свободно падает с высоты 20 м. На какой высоте потенциальная энергия тела в 3 раза меньше кинетической? Сопротивление воздуха не учитывайте.

Решение.

1. Дано:

$m = 2 \text{ т} = 2000 \text{ кг}$

$A_{сопр} = 10^5 \text{ Дж}$

$v_2 = 0 \text{ м/с}$

Найти:

$v_1$ - ?

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме, работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии:

$A = \Delta E_k = E_{k2} - E_{k1}$

В данном случае единственной силой, совершающей работу, является сила сопротивления. Работа силы сопротивления отрицательна, так как эта сила направлена против движения. Таким образом, $A = -A_{сопр}$.

Кинетическая энергия автомобиля в начальный момент времени $E_{k1} = \frac{mv_1^2}{2}$, где $v_1$ — начальная скорость.

В конечный момент времени автомобиль останавливается, поэтому его конечная скорость $v_2 = 0$, и конечная кинетическая энергия $E_{k2} = \frac{mv_2^2}{2} = 0$.

Подставим все значения в формулу теоремы об изменении кинетической энергии:

$-A_{сопр} = 0 - \frac{mv_1^2}{2}$

Отсюда следует, что вся начальная кинетическая энергия автомобиля была потрачена на совершение работы против сил сопротивления:

$A_{сопр} = \frac{mv_1^2}{2}$

Выразим из этой формулы начальную скорость $v_1$:

$v_1^2 = \frac{2A_{сопр}}{m}$

$v_1 = \sqrt{\frac{2A_{сопр}}{m}}$

Подставим числовые значения:

$v_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 10^5 \text{ Дж}}{2000 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{200000}{2000}} = \sqrt{100} = 10 \text{ м/с}$

Ответ: начальная скорость автомобиля составляла 10 м/с.

2. Дано:

$H = 20 \text{ м}$

$v_0 = 0 \text{ м/с}$

$E_k = 3E_p$

Найти:

$\text{h}$ - ?

Решение:

Поскольку сопротивлением воздуха можно пренебречь, для тела выполняется закон сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия тела $\text{E}$ в любой точке траектории равна сумме его потенциальной ($E_p$) и кинетической ($E_k$) энергий и остается постоянной.

$E = E_p + E_k = \text{const}$

В начальный момент времени, на высоте $H=20$ м, тело покоится ($v_0 = 0$), поэтому его кинетическая энергия равна нулю ($E_{k0}=0$), а потенциальная энергия максимальна: $E_{p0} = mgH$.

Полная механическая энергия тела равна его начальной энергии:

$E = E_{p0} + E_{k0} = mgH + 0 = mgH$

На искомой высоте $\text{h}$ потенциальная энергия тела равна $E_p = mgh$, а кинетическая энергия — $E_k$. По условию задачи, на этой высоте потенциальная энергия в 3 раза меньше кинетической, то есть $E_k = 3E_p$.

Запишем закон сохранения энергии для высоты $\text{h}$:

$E = E_p + E_k$

Подставим в это уравнение $E = mgH$ и $E_k = 3E_p$:

$mgH = E_p + 3E_p = 4E_p$

Теперь подставим формулу для потенциальной энергии на высоте $\text{h}$, $E_p = mgh$:

$mgH = 4mgh$

Сократим обе части уравнения на $mg$:

$H = 4h$

Отсюда найдем высоту $\text{h}$:

$h = \frac{H}{4}$

Подставим числовое значение $\text{H}$:

$h = \frac{20 \text{ м}}{4} = 5 \text{ м}$

Ответ: на высоте 5 м потенциальная энергия тела будет в 3 раза меньше кинетической.