Вариант 4, страница 43 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Законы сохранения в механике. Самостоятельная работа № 7. Момент инерции - страница 43.

Условие.

Вариант 4

1. В вершинах правильного треугольника со стороной 20 см находятся одинаковые шарики массой по 100 г каждый. Определите момент инерции этой системы тел относительно оси, проходящей через точку пересечения медиан перпендикулярно плоскости треугольника.

2. Цилиндр массой 4 кг вращается вокруг оси, совпадающей с геометрической осью этого цилиндра. Момент инерции цилиндра равен 0,02 кг · м². Определите радиус цилиндра.

Решение.

1. Дано:

Сторона треугольника, $a = 20 \text{ см}$

Масса каждого шарика, $m = 100 \text{ г}$

Количество шариков, $n = 3$

Перевод в систему СИ:

$a = 0,2 \text{ м}$

$m = 0,1 \text{ кг}$

Найти:

Момент инерции системы, $\text{I}$ - ?

Решение:

Шарики можно считать материальными точками. Момент инерции системы материальных точек равен сумме моментов инерции каждой точки относительно заданной оси: $I = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2$.

В данном случае система состоит из трех одинаковых шариков ($m_1 = m_2 = m_3 = m$). Ось вращения проходит через точку пересечения медиан (центроид) правильного треугольника перпендикулярно его плоскости. Расстояние от каждой вершины до центроида одинаково. Обозначим это расстояние как $\text{r}$.

Тогда полный момент инерции системы: $I = m r^2 + m r^2 + m r^2 = 3 m r^2$.

Найдем расстояние $\text{r}$. В правильном (равностороннем) треугольнике точка пересечения медиан является его центром и делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины. Расстояние $\text{r}$ от вершины до центра равно $2/3$ длины медианы $\text{h}$.

Длина медианы (которая также является высотой) в правильном треугольнике со стороной $\text{a}$ вычисляется по формуле: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Тогда расстояние $\text{r}$ от каждой вершины до оси вращения равно:

$r = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Подставим это выражение в формулу для момента инерции:

$I = 3m r^2 = 3m \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = 3m \frac{a^2}{3} = ma^2$.

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:

$I = 0,1 \text{ кг} \cdot (0,2 \text{ м})^2 = 0,1 \text{ кг} \cdot 0,04 \text{ м}^2 = 0,004 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$.

Ответ: $I = 0,004 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$.

2. Дано:

Масса цилиндра, $M = 4 \text{ кг}$

Момент инерции цилиндра, $I = 0,02 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$

Найти:

Радиус цилиндра, $\text{R}$ - ?

Решение:

Момент инерции сплошного цилиндра относительно его геометрической оси (оси симметрии) определяется по формуле:

$I = \frac{1}{2} M R^2$

где $\text{M}$ - масса цилиндра, а $\text{R}$ - его радиус.

Выразим радиус $\text{R}$ из этой формулы:

$2I = M R^2$

$R^2 = \frac{2I}{M}$

$R = \sqrt{\frac{2I}{M}}$

Подставим числовые значения:

$R = \sqrt{\frac{2 \cdot 0,02 \text{ кг} \cdot \text{м}^2}{4 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{0,04}{4} \text{ м}^2} = \sqrt{0,01 \text{ м}^2} = 0,1 \text{ м}$.

Ответ: $R = 0,1 \text{ м}$.