Вариант 5*, страница 42 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Законы сохранения в механике. Самостоятельная работа № 6. Работа силы. Закон сохранения механической энергии - страница 42.

Условие.

Вариант 5*

1. Пять одинаковых книг массой по 1 кг каждая и толщиной по 2 см каждая лежат рядом на горизонтальной поверхности. Определите минимальную работу, которую необходимо совершить для того, чтобы сложить эти книги стопкой.

2. Мяч бросили вертикально вверх со скоростью 4 м/с, а на землю он упал со скоростью 8 м/с. С какой высоты бросили мяч? Сопротивление воздуха не учитывайте.

Решение.

1. Дано:

$N = 5$ (количество книг)

$m = 1$ кг

$h = 2$ см

$h = 0.02$ м

Найти:

$A_{min}$ — ?

Решение:

Минимальная работа, которую необходимо совершить, чтобы сложить книги в стопку, равна изменению их суммарной потенциальной энергии. Будем считать, что одна из книг остается на горизонтальной поверхности (она будет нижней в стопке), а остальные четыре кладутся на нее сверху по одной.

1. Первая книга остается на месте. Работа по ее перемещению не совершается. Ее центр масс находится на высоте $h/2$ от поверхности.

2. Вторую книгу мы берем с поверхности и кладем на первую. Ее центр масс поднимается с высоты $h/2$ до высоты $h + h/2 = 3h/2$. Изменение высоты центра масс составляет $\text{h}$. Работа, совершенная для подъема второй книги: $A_2 = mgh$.

3. Третью книгу мы кладем на вторую. Ее центр масс поднимается с высоты $h/2$ до высоты $2h + h/2 = 5h/2$. Изменение высоты центра масс составляет $2h$. Работа: $A_3 = mg(2h)$.

4. Четвертую книгу кладем на третью. Изменение высоты ее центра масс составляет $3h$. Работа: $A_4 = mg(3h)$.

5. Пятую книгу кладем на четвертую. Изменение высоты ее центра масс составляет $4h$. Работа: $A_5 = mg(4h)$.

Суммарная минимальная работа равна сумме работ по подъему каждой из четырех книг:

$A_{min} = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 = 0 + mgh + 2mgh + 3mgh + 4mgh = 10mgh$.

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Подставим числовые значения:

$A_{min} = 10 \cdot 1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0.02 \text{ м} = 2 \text{ Дж}$.

Ответ: 2 Дж.

2. Дано:

$v_0 = 4$ м/с

$v_f = 8$ м/с

Найти:

$\text{H}$ — ?

Решение:

Поскольку сопротивлением воздуха пренебрегаем, для мяча выполняется закон сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия, состоящая из кинетической и потенциальной энергии, остается постоянной в любой точке траектории.

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + mgh = const$

Выберем уровень земли в качестве нулевого уровня для отсчета потенциальной энергии ($h=0$).

В начальный момент времени (в момент броска с высоты $\text{H}$) полная энергия мяча была:

$E_0 = \frac{mv_0^2}{2} + mgH$

В конечный момент времени (перед падением на землю, $h=0$) полная энергия мяча стала:

$E_f = \frac{mv_f^2}{2} + mg \cdot 0 = \frac{mv_f^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии, $E_0 = E_f$:

$\frac{mv_0^2}{2} + mgH = \frac{mv_f^2}{2}$

Массу $\text{m}$ можно сократить:

$\frac{v_0^2}{2} + gH = \frac{v_f^2}{2}$

Выразим из этого уравнения высоту $\text{H}$:

$gH = \frac{v_f^2}{2} - \frac{v_0^2}{2}$

$H = \frac{v_f^2 - v_0^2}{2g}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Подставим числовые значения:

$H = \frac{(8 \text{ м/с})^2 - (4 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{64 - 16}{20} \text{ м} = \frac{48}{20} \text{ м} = 2.4 \text{ м}$.

Ответ: 2.4 м.