Вариант 5*, страница 41 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Законы сохранения в механике. Самостоятельная работа № 5. Мощность - страница 41.

Условие.

Вариант 5*

1. Первая тележка при мощности 30 Вт развивает скорость 4 м/с, вторая тележка при мощности 40 Вт развивает скорость 8 м/с. Какой будет скорость тележек, если их соединить вместе?

2. Материальная точка массой 100 г движется согласно уравнению $x = -2 + 4t - t^2$ [м]. Определите развиваемую мощность в конце второй секунды от начала движения.

Решение.

1. При движении с постоянной скоростью сила тяги, развиваемая тележкой, равна по модулю силе сопротивления движению. Мощность $\text{P}$ связана со скоростью $\text{v}$ и силой тяги $\text{F}$ соотношением $P = F \cdot v$. Отсюда можно найти силу сопротивления для каждой тележки. Когда тележки соединяют, их общая мощность и общая сила сопротивления равны суммам соответствующих величин для каждой тележки.

Дано:
Мощность первой тележки $P_1 = 30$ Вт
Скорость первой тележки $v_1 = 4$ м/с
Мощность второй тележки $P_2 = 40$ Вт
Скорость второй тележки $v_2 = 8$ м/с

Найти:
Скорость соединенных тележек $\text{v}$.

Решение:

1. Найдём силу сопротивления для первой тележки. Так как скорость постоянна, сила тяги $F_1$ равна силе сопротивления $F_{сопр1}$:

$P_1 = F_1 \cdot v_1 = F_{сопр1} \cdot v_1$

$F_{сопр1} = \frac{P_1}{v_1} = \frac{30 \text{ Вт}}{4 \text{ м/с}} = 7,5 \text{ Н}$

2. Найдём силу сопротивления для второй тележки. Аналогично, сила тяги $F_2$ равна силе сопротивления $F_{сопр2}$:

$P_2 = F_2 \cdot v_2 = F_{сопр2} \cdot v_2$

$F_{сопр2} = \frac{P_2}{v_2} = \frac{40 \text{ Вт}}{8 \text{ м/с}} = 5 \text{ Н}$

3. Когда тележки соединяют, их общая мощность равна сумме мощностей, а общая сила сопротивления равна сумме сил сопротивления:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = 30 \text{ Вт} + 40 \text{ Вт} = 70 \text{ Вт}$

$F_{сопр.общ} = F_{сопр1} + F_{сопр2} = 7,5 \text{ Н} + 5 \text{ Н} = 12,5 \text{ Н}$

4. При движении с новой постоянной скоростью $\text{v}$ общая сила тяги будет равна общей силе сопротивления. Найдём эту скорость:

$P_{общ} = F_{сопр.общ} \cdot v$

$v = \frac{P_{общ}}{F_{сопр.общ}} = \frac{70 \text{ Вт}}{12,5 \text{ Н}} = 5,6 \text{ м/с}$

Ответ: Скорость соединенных тележек будет 5,6 м/с.

2. Мощность, развиваемая силой, действующей на материальную точку, определяется как произведение этой силы на мгновенную скорость точки $P = F \cdot v$. Сила, в свою очередь, находится по второму закону Ньютона $F = ma$, где $\text{a}$ – ускорение точки. Скорость и ускорение можно найти, взяв первую и вторую производные от уравнения движения по времени.

Дано:
Масса материальной точки $m = 100$ г
Уравнение движения $x(t) = -2 + 4t - t^2$ [м]
Время $t = 2$ с

$m = 100 \text{ г} = 0,1 \text{ кг}$

Найти:
Мощность $\text{P}$ в момент времени $t=2$ с.

Решение:

1. Найдём зависимость скорости от времени $v(t)$, взяв первую производную от координаты $x(t)$ по времени $\text{t}$:

$v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(-2 + 4t - t^2) = 4 - 2t \text{ [м/с]}$

2. Найдём зависимость ускорения от времени $a(t)$, взяв производную от скорости $v(t)$ по времени $\text{t}$:

$a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(4 - 2t) = -2 \text{ [м/с}^2\text{]}$

Ускорение является постоянной величиной.

3. Вычислим скорость и ускорение в момент времени $t = 2$ с:

$v(2) = 4 - 2 \cdot 2 = 4 - 4 = 0 \text{ м/с}$

$a(2) = -2 \text{ м/с}^2$

4. Найдём силу, действующую на материальную точку, по второму закону Ньютона:

$F = m \cdot a = 0,1 \text{ кг} \cdot (-2 \text{ м/с}^2) = -0,2 \text{ Н}$

5. Определим развиваемую мощность в момент времени $t = 2$ с:

$P(2) = F \cdot v(2) = -0,2 \text{ Н} \cdot 0 \text{ м/с} = 0 \text{ Вт}$

Ответ: Развиваемая мощность в конце второй секунды от начала движения равна 0 Вт.