Вариант 1, страница 43 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Законы сохранения в механике. Самостоятельная работа № 7. Момент инерции - страница 43.

Условие.

Вариант 1

1. Четыре одинаковых шарика массой по 200 г каждый закреплены в вершинах квадрата со стороной 10 см. Определите момент инерции этой системы, если ось вращения проходит через центр одного из этих шариков перпендикулярно плоскости квадрата.

2. Масса велосипедного колеса 1,6 кг, его диаметр 70 см. Определите момент инерции колеса.

Решение.

1. Четыре одинаковых шарика массой по 200 г каждый закреплены в вершинах квадрата со стороной 10 см. Определите момент инерции этой системы, если ось вращения проходит через центр одного из этих шариков перпендикулярно плоскости квадрата.

Дано:

$m_1 = m_2 = m_3 = m_4 = m = 200 \text{ г}$
$a = 10 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$
$a = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

$\text{I}$ - ?

Решение:

Момент инерции системы материальных точек равен сумме моментов инерции каждой точки относительно заданной оси вращения: $I = \sum_{i=1}^{n} I_i = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2$, где $m_i$ — масса $\text{i}$-й точки, а $r_i$ — ее расстояние до оси вращения.

По условию, четыре шарика можно рассматривать как материальные точки. Ось вращения проходит через центр одного из шариков (назовем его шарик 1) перпендикулярно плоскости квадрата.

1. Для шарика 1, через который проходит ось вращения, расстояние до оси $r_1 = 0$. Следовательно, его момент инерции $I_1 = m r_1^2 = 0$.

2. Два шарика (назовем их шарик 2 и шарик 4) находятся на соседних вершинах квадрата. Расстояние от них до оси вращения равно стороне квадрата: $r_2 = a = 0.1 \text{ м}$ и $r_4 = a = 0.1 \text{ м}$.
Их моменты инерции: $I_2 = m a^2$
$I_4 = m a^2$

3. Четвертый шарик (назовем его шарик 3) находится в противоположной вершине квадрата. Расстояние от него до оси вращения равно диагонали квадрата. Найдем диагональ $\text{d}$ по теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.
Следовательно, $r_3 = d = a\sqrt{2}$.
Его момент инерции: $I_3 = m r_3^2 = m (a\sqrt{2})^2 = 2ma^2$.

4. Общий момент инерции системы равен сумме моментов инерции всех шариков:
$I = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 = 0 + ma^2 + 2ma^2 + ma^2 = 4ma^2$.

Подставим числовые значения:
$I = 4 \cdot 0.2 \text{ кг} \cdot (0.1 \text{ м})^2 = 4 \cdot 0.2 \cdot 0.01 = 0.008 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$.

Ответ: $0.008 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$.

2. Масса велосипедного колеса 1,6 кг, его диаметр 70 см. Определите момент инерции колеса.

Дано:

$M = 1.6 \text{ кг}$
$d = 70 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$d = 70 \text{ см} = 0.7 \text{ м}$

Найти:

$\text{I}$ - ?

Решение:

Велосипедное колесо можно смоделировать как тонкий обруч (кольцо), так как основная его масса сосредоточена в ободе. Момент инерции обруча относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости обруча, вычисляется по формуле: $I = M R^2$, где $\text{M}$ — масса обруча, а $\text{R}$ — его радиус.

Радиус колеса $\text{R}$ равен половине его диаметра $\text{d}$:
$R = \frac{d}{2} = \frac{0.7 \text{ м}}{2} = 0.35 \text{ м}$.

Теперь можем вычислить момент инерции:
$I = 1.6 \text{ кг} \cdot (0.35 \text{ м})^2 = 1.6 \text{ кг} \cdot 0.1225 \text{ м}^2 = 0.196 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$.

Ответ: $0.196 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$.