Вариант 5*, страница 44 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 7. Момент инерции. Законы сохранения в механике. Механика - страница 44.

Условие.

Вариант 5*

1. На концах невесомого стержня длиной 20 см закреплены два маленьких шарика массами 50 г и 100 г. Определите момент инерции системы относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно ему.

2. Вычислите момент инерции Земли, считая её шаром массой $6 \cdot 10^{21}$ т и радиусом 6400 км.

Решение.

1. Дано

$L = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

$m_1 = 50 \text{ г} = 0.05 \text{ кг}$

$m_2 = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

Найти: $\text{I}$

Решение

Момент инерции системы материальных точек равен сумме моментов инерции каждой точки. Момент инерции материальной точки вычисляется по формуле $I = mr^2$, где $\text{m}$ - масса точки, а $\text{r}$ - расстояние от точки до оси вращения.

В данной задаче система состоит из двух шариков, которые можно считать материальными точками, и невесомого стержня. Момент инерции невесомого стержня равен нулю.

Ось вращения проходит через середину стержня. Длина стержня $L = 0.2$ м, следовательно, расстояние от оси вращения до каждого шарика будет одинаковым и равным половине длины стержня:

$r_1 = r_2 = r = \frac{L}{2} = \frac{0.2 \text{ м}}{2} = 0.1 \text{ м}$

Общий момент инерции системы равен сумме моментов инерции двух шариков:

$I = I_1 + I_2 = m_1r_1^2 + m_2r_2^2$

Поскольку $r_1 = r_2 = r$, формулу можно упростить:

$I = m_1r^2 + m_2r^2 = (m_1 + m_2)r^2$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$I = (0.05 \text{ кг} + 0.1 \text{ кг}) \cdot (0.1 \text{ м})^2 = 0.15 \text{ кг} \cdot 0.01 \text{ м}^2 = 0.0015 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$

Ответ: $I = 0.0015 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$.

2. Дано

$M = 6 \cdot 10^{21} \text{ т} = 6 \cdot 10^{21} \cdot 10^3 \text{ кг} = 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

$R = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти: $\text{I}$

Решение

Для решения задачи будем считать Землю однородным сплошным шаром. Момент инерции сплошного шара относительно оси, проходящей через его центр, вычисляется по формуле:

$I = \frac{2}{5}MR^2$

где $\text{M}$ - масса шара, а $\text{R}$ - его радиус.

Подставим данные значения, переведенные в систему СИ:

$I = \frac{2}{5} \cdot (6 \cdot 10^{24} \text{ кг}) \cdot (6.4 \cdot 10^6 \text{ м})^2$

Вычислим квадрат радиуса:

$(6.4 \cdot 10^6)^2 = 6.4^2 \cdot (10^6)^2 = 40.96 \cdot 10^{12}$

Теперь подставим это значение обратно в формулу момента инерции:

$I = 0.4 \cdot (6 \cdot 10^{24}) \cdot (40.96 \cdot 10^{12}) = (0.4 \cdot 6 \cdot 40.96) \cdot 10^{24+12}$

$I = 98.304 \cdot 10^{36} \text{ кг} \cdot \text{м}^2$

Запишем ответ в стандартном виде (с одним знаком до запятой):

$I = 9.8304 \cdot 10^{37} \text{ кг} \cdot \text{м}^2$

Округлим до сотых:

$I \approx 9.83 \cdot 10^{37} \text{ кг} \cdot \text{м}^2$

Ответ: $I \approx 9.83 \cdot 10^{37} \text{ кг} \cdot \text{м}^2$.