Вариант 4, страница 44 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 8. Момент импульса. Кинетическая энергия вращающегося тела. Законы сохранения в механике. Механика - страница 44.

Условие.

Вариант 4

1. В опыте со скамьей Жуковского человек при вращении разводит руки с гантелями в стороны. Как и почему изменяется его угловая скорость?

2. По горизонтальной поверхности без проскальзывания равномерно и прямолинейно катится обруч массой 2 кг. За 5 с он проходит 10 м. Определите кинетическую энергию обруча.

Решение.

1. В опыте со скамьей Жуковского человек при вращении разводит руки с гантелями в стороны. Как и почему изменяется его угловая скорость?

Данное явление объясняется законом сохранения момента импульса. Система, состоящая из человека, скамьи Жуковского и гантелей, является замкнутой (или изолированной), поскольку можно пренебречь моментом внешних сил (например, силой трения в оси скамьи).

Момент импульса системы $\text{L}$ определяется произведением момента инерции $\text{I}$ на угловую скорость $\omega$: $L = I \cdot \omega$.

Момент инерции тела зависит от распределения его массы относительно оси вращения ($I = \sum m_i r_i^2$). Когда человек разводит руки с гантелями, он увеличивает расстояние $\text{r}$ этих масс от оси вращения. В результате общий момент инерции системы «человек-гантели-скамья» увеличивается.

Согласно закону сохранения момента импульса, для замкнутой системы это значение остается постоянным:

$L = I \cdot \omega = \text{const}$

Поскольку момент инерции $\text{I}$ увеличивается, то для сохранения постоянства момента импульса $\text{L}$ угловая скорость $\omega$ должна уменьшиться.

Ответ: Угловая скорость человека уменьшается. Это происходит потому, что при разведении рук в стороны увеличивается момент инерции системы, и для выполнения закона сохранения момента импульса угловая скорость должна соответственно уменьшиться.

2. По горизонтальной поверхности без проскальзывания равномерно и прямолинейно катится обруч массой 2 кг. За 5 с он проходит 10 м. Определите кинетическую энергию обруча.

Дано:

$m = 2$ кг
$t = 5$ с
$s = 10$ м

Найти:

$E_k$ - ?

Решение:

Кинетическая энергия обруча, который катится без проскальзывания, состоит из двух частей: кинетической энергии поступательного движения центра масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг центра масс.

$E_k = E_{пост} + E_{вращ} = \frac{mv^2}{2} + \frac{I\omega^2}{2}$

где $\text{m}$ — масса обруча, $\text{v}$ — скорость его центра масс, $\text{I}$ — момент инерции обруча, $\omega$ — его угловая скорость.

Обруч движется равномерно, поэтому его линейная скорость постоянна и вычисляется по формуле:

$v = \frac{s}{t} = \frac{10 \text{ м}}{5 \text{ с}} = 2 \text{ м/с}$

Момент инерции обруча (рассматриваемого как тонкое кольцо) относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости, равен:

$I = mR^2$

где $\text{R}$ — радиус обруча.

Условие качения без проскальзывания означает, что линейная скорость центра масс и угловая скорость связаны соотношением:

$v = \omega R$, из которого следует, что $\omega = \frac{v}{R}$

Подставим выражения для $\text{I}$ и $\omega$ в формулу для полной кинетической энергии:

$E_k = \frac{mv^2}{2} + \frac{(mR^2)(\frac{v}{R})^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{mR^2 \frac{v^2}{R^2}}{2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = mv^2$

Теперь можем рассчитать числовое значение кинетической энергии:

$E_k = 2 \text{ кг} \cdot (2 \text{ м/с})^2 = 2 \cdot 4 = 8 \text{ Дж}$

Ответ: $8$ Дж.