Вариант 1, страница 44 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Законы сохранения в механике. Самостоятельная работа № 8. Момент импульса. Кинетическая энергия вращающегося тела - страница 44.

Условие.

Вариант 1

1. Тело бросают вертикально вверх два раза с одинаковой начальной скоростью. Первый раз тело движется поступательно, а второй — с вращением. В каком случае высота подъёма больше и почему?

2. Материальная точка массой 100 г движется по окружности радиусом 1 м со скоростью 5 м/с. Определите момент импульса точки.

Решение.

1. Высота подъема тела будет одинаковой в обоих случаях. Рассмотрим это с двух точек зрения.

1. С точки зрения динамики: Движение центра масс тела определяется только суммой внешних сил, приложенных к телу. В данном случае (пренебрегая сопротивлением воздуха) единственной внешней силой является сила тяжести, направленная вертикально вниз и приложенная к центру масс. Эта сила сообщает телу одинаковое ускорение $ \vec{g} $ в обоих случаях. Согласно второму закону Ньютона для движения центра масс, $ m\vec{a}_{cm} = m\vec{g} $. Так как начальная вертикальная скорость центра масс $ v_0 $ по условию одинакова и ускорение $ g $ одинаково, то и все кинематические характеристики движения центра масс (включая максимальную высоту подъема) будут идентичны. Максимальная высота подъема определяется формулой $ h = \frac{v_0^2}{2g} $, которая не зависит от вращения тела.

2. С точки зрения закона сохранения энергии:

В первом случае (только поступательное движение) начальная энергия тела является чисто кинетической энергией поступательного движения: $ E_1 = \frac{1}{2}mv_0^2 $. На максимальной высоте $ h_1 $ эта энергия полностью переходит в потенциальную: $ E_{p1} = mgh_1 $. Из закона сохранения энергии $ \frac{1}{2}mv_0^2 = mgh_1 $, откуда $ h_1 = \frac{v_0^2}{2g} $.

Во втором случае (поступательное движение и вращение) полная начальная энергия тела складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения: $ E_2 = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 $, где $ I $ – момент инерции, а $ \omega $ – начальная угловая скорость. На максимальной высоте $ h_2 $ поступательная скорость становится равной нулю, но тело продолжает вращаться. Сила тяжести не создает вращающего момента относительно центра масс, поэтому угловая скорость $ \omega $ сохраняется. Энергия на максимальной высоте равна сумме потенциальной энергии и энергии вращения: $ E_{p2} = mgh_2 + \frac{1}{2}I\omega^2 $. По закону сохранения полной механической энергии $ E_2 = E_{p2} $:

$ \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = mgh_2 + \frac{1}{2}I\omega^2 $

Сократив слагаемое, отвечающее за энергию вращения, в обеих частях уравнения, получаем:

$ \frac{1}{2}mv_0^2 = mgh_2 $, откуда $ h_2 = \frac{v_0^2}{2g} $.

Таким образом, $ h_1 = h_2 $. Энергия вращения не переходит в потенциальную энергию и не влияет на высоту подъема центра масс.

Ответ: Высота подъёма в обоих случаях больше не будет, она будет одинаковой. Это связано с тем, что движение центра масс тела определяется только начальной скоростью центра масс и внешними силами. Поскольку начальная скорость и сила тяжести в обоих случаях одинаковы, высота подъёма также будет одинаковой.

2. Дано:

$m = 100$ г
$r = 1$ м
$v = 5$ м/с

$m = 100 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0,1 \text{ кг}$

Найти:

$\text{L}$ - ?

Решение:

Момент импульса материальной точки относительно центра вращения определяется как векторное произведение радиус-вектора $ \vec{r} $ на вектор импульса $ \vec{p} $:

$ \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} $

Импульс точки равен $ \vec{p} = m\vec{v} $. При движении по окружности вектор скорости $ \vec{v} $ всегда перпендикулярен радиус-вектору $ \vec{r} $, проведенному из центра окружности к точке. Поэтому угол между векторами $ \vec{r} $ и $ \vec{p} $ равен $90^\circ$.

Модуль момента импульса в этом случае вычисляется по формуле:

$ L = |\vec{r} \times \vec{p}| = r \cdot p \cdot \sin(90^\circ) = r \cdot (mv) \cdot 1 = mvr $

Подставим данные из условия задачи в систему СИ:

$ L = 0,1 \text{ кг} \cdot 5 \text{ м/с} \cdot 1 \text{ м} = 0,5 \text{ кг} \cdot \text{м}^2/\text{с} $

Ответ: $L = 0,5 \text{ кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}$.