Вариант 3, страница 48 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Статика и гидромеханика. Самостоятельная работа № 1. Уравнение сил. Условия равновесия - страница 48.

Условие.

Вариант 3

1. Фонарь массой $m = 5$ кг подвешен на двух стержнях так, как показано на рисунке. Угол $\alpha = 30^\circ$. Определите силы упругости, возникающие в стержнях.

2. Бревно массой 100 кг лежит на горизонтальной поверхности. Определите минимальную силу, необходимую для того, чтобы приподнять это бревно за один конец.

Решение.

1. Фонарь массой m = 5 кг подвешен на двух стержнях так, как показано на рисунке. Угол α = 30°. Определите силы упругости, возникающие в стержнях.

Дано:

$m = 5$ кг
$\alpha = 30^\circ$
$g \approx 9.8$ м/с$^2$

Найти:

$F_1$ - сила упругости в горизонтальном стержне
$F_2$ - сила упругости в наклонном стержне

Решение:

Фонарь находится в равновесии, следовательно, векторная сумма всех сил, действующих на точку подвеса, равна нулю. На точку подвеса действуют три силы: сила тяжести фонаря $\vec{P}$, направленная вертикально вниз, сила реакции горизонтального стержня $\vec{F}_1$, и сила натяжения наклонного стержня $\vec{F}_2$.

Введем систему координат: ось OY направим вертикально вверх, а ось OX – горизонтально вправо. Точку подвеса фонаря примем за начало координат.

Сила тяжести фонаря равна $P = mg$.
$P = 5 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 49 \text{ Н}$.
Проекции сил на оси координат:

- Сила тяжести: $P_x = 0$, $P_y = -mg$.
- Сила реакции горизонтального стержня (стержень сжат, сила направлена от стены): $F_{1x} = F_1$, $F_{1y} = 0$.
- Сила натяжения наклонного стержня (стержень растянут, сила направлена к стене): $F_{2x} = -F_2 \sin\alpha$, $F_{2y} = F_2 \cos\alpha$.

Запишем условия равновесия (первый закон Ньютона) в проекциях на оси координат:

Сумма проекций сил на ось OX:
$\sum F_x = F_1 - F_2 \sin\alpha = 0$ (1)

Сумма проекций сил на ось OY:
$\sum F_y = F_2 \cos\alpha - mg = 0$ (2)

Из уравнения (2) выразим силу $F_2$:
$F_2 \cos\alpha = mg$
$F_2 = \frac{mg}{\cos\alpha}$

Подставим числовые значения:
$F_2 = \frac{49 \text{ Н}}{\cos30^\circ} = \frac{49 \text{ Н}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{98}{\sqrt{3}} \text{ Н} \approx 56.6 \text{ Н}$.

Теперь из уравнения (1) выразим силу $F_1$:
$F_1 = F_2 \sin\alpha$

Подставим найденное выражение для $F_2$ и числовые значения:
$F_1 = \frac{mg}{\cos\alpha} \sin\alpha = mg \tan\alpha$
$F_1 = 49 \text{ Н} \cdot \tan30^\circ = 49 \text{ Н} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{49}{\sqrt{3}} \text{ Н} \approx 28.3 \text{ Н}$.

Ответ: Сила упругости в горизонтальном стержне (сила сжатия) $F_1 \approx 28.3 \text{ Н}$, сила упругости в наклонном стержне (сила натяжения) $F_2 \approx 56.6 \text{ Н}$.

2. Бревно массой 100 кг лежит на горизонтальной поверхности. Определите минимальную силу, необходимую для того, чтобы приподнять это бревно за один конец.

Дано:

$M = 100$ кг
$g \approx 9.8$ м/с$^2$

Найти:

$F_{min}$

Решение:

Чтобы приподнять бревно за один конец, необходимо приложить силу, которая создаст вращающий момент, равный моменту силы тяжести. Бревно будет вращаться вокруг другого конца, который в начальный момент подъема служит осью вращения.

Минимальная сила будет приложена перпендикулярно бревну, то есть вертикально вверх. Обозначим эту силу как $\text{F}$.

Рассмотрим условие равновесия моментов сил относительно точки опоры (конца бревна, который остается на земле).

Пусть длина бревна равна $\text{L}$. Бревно считаем однородным, поэтому его центр масс находится посередине, на расстоянии $L/2$ от точки опоры. Сила тяжести $P = Mg$ приложена к центру масс.

Момент силы тяжести, стремящийся вернуть бревно в горизонтальное положение (вращает по часовой стрелке):
$M_P = P \cdot \frac{L}{2} = Mg \frac{L}{2}$

Прикладываемая сила $\text{F}$ действует на другом конце бревна, на расстоянии $\text{L}$ от опоры. Момент этой силы, стремящийся поднять бревно (вращает против часовой стрелки):
$M_F = F \cdot L$

В момент отрыва от земли моменты сил должны быть равны (условие равновесия):
$M_F = M_P$
$F \cdot L = Mg \frac{L}{2}$

Сократив длину $\text{L}$ в обеих частях уравнения, получим выражение для минимальной силы $\text{F}$:
$F = \frac{Mg}{2}$

Подставим числовые значения:
$F = \frac{100 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{2} = \frac{980 \text{ Н}}{2} = 490 \text{ Н}$.

Ответ: Минимальная сила, необходимая для того, чтобы приподнять бревно за один конец, равна 490 Н.