Вариант 4, страница 48 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Статика и гидромеханика. Самостоятельная работа № 1. Уравнение сил. Условия равновесия - страница 48.

Условие.

Вариант 4

1. На двух стержнях подвешен груз массой $m = 25$ кг (см. рисунок). Угол $\alpha = 30^{\circ}$. Определите силу упругости в каждом стержне.

2. Тонкий невесомый стержень длиной 60 см подвешен на нити. К концам стержня прикреплены грузы массами 1 кг и 3 кг. Стержень находится в горизонтальном равновесии. Определите расстояние от точки крепления первого груза до точки подвеса стержня.

Решение.

1. Дано:
$m = 25$ кг
$α = 30°$
Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:
Силы упругости в каждом стержне: $F_1$ (в горизонтальном) и $F_2$ (в наклонном).

Решение:
Система находится в равновесии, что означает, что векторная сумма всех сил, приложенных к узлу (точке соединения стержней и груза), равна нулю. На узел действуют три силы:
1. Сила тяжести груза $F_g = mg$, направленная вертикально вниз.
2. Сила упругости горизонтального стержня $F_1$.
3. Сила упругости наклонного стержня $F_2$.

Для решения задачи введем систему координат: ось OY направим вертикально вверх, а ось OX – горизонтально вправо. Запишем первое условие равновесия (равенство нулю суммы всех сил) в проекциях на эти оси.
Из анализа системы следует, что наклонный стержень растянут (сила $F_2$ направлена от узла к стене, вверх и влево), а горизонтальный стержень сжат (сила $F_1$ направлена от стены к узлу, вправо).

Запишем уравнения равновесия в проекциях:
На ось OY: $F_{2y} - F_g = 0 \implies F_2 \cos(α) - mg = 0$
На ось OX: $F_1 - F_{2x} = 0 \implies F_1 - F_2 \sin(α) = 0$

Из первого уравнения находим силу упругости в наклонном стержне $F_2$:
$F_2 = \frac{mg}{\cos(α)}$
Подставим числовые значения:
$F_2 = \frac{25 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с²}}{\cos(30°)} = \frac{250 \text{ Н}}{\sqrt{3}/2} = \frac{500}{\sqrt{3}} \text{ Н} \approx 288.7 \text{ Н}$

Теперь из второго уравнения найдем силу упругости в горизонтальном стержне $F_1$:
$F_1 = F_2 \sin(α)$
Подставим найденное значение $F_2$:
$F_1 = \frac{500}{\sqrt{3}} \text{ Н} \cdot \sin(30°) = \frac{500}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{250}{\sqrt{3}} \text{ Н} \approx 144.3 \text{ Н}$

Ответ: сила упругости в наклонном стержне $F_2 = \frac{500}{\sqrt{3}} \text{ Н} \approx 288.7 \text{ Н}$, сила упругости в горизонтальном стержне $F_1 = \frac{250}{\sqrt{3}} \text{ Н} \approx 144.3 \text{ Н}$.

2. Дано:
$L = 60$ см
$m_1 = 1$ кг
$m_2 = 3$ кг

Перевод в СИ:
$L = 0.6$ м

Найти:
Расстояние от точки крепления первого груза до точки подвеса стержня ($x_1$).

Решение:
Так как стержень находится в горизонтальном равновесии, то сумма моментов сил, действующих на него относительно любой точки, равна нулю (правило моментов). В качестве точки опоры (оси вращения) удобно выбрать точку подвеса стержня, так как момент силы натяжения нити в этой точке будет равен нулю.
На стержень действуют силы тяжести двух грузов: $F_1 = m_1 g$ и $F_2 = m_2 g$.

Пусть $x_1$ — искомое расстояние от первого груза ($m_1$) до точки подвеса. Тогда плечо силы $F_1$ равно $x_1$.
Расстояние от второго груза ($m_2$) до точки подвеса будет $x_2 = L - x_1$. Это плечо силы $F_2$.

Условие равновесия моментов: момент силы $F_1$, вращающий стержень против часовой стрелки, равен моменту силы $F_2$, вращающему стержень по часовой стрелке.
$M_1 = M_2$
$F_1 \cdot x_1 = F_2 \cdot x_2$
$m_1 g \cdot x_1 = m_2 g \cdot (L - x_1)$

Сократим $\text{g}$ в обеих частях уравнения:
$m_1 x_1 = m_2 (L - x_1)$
Теперь решим это уравнение относительно $x_1$:
$m_1 x_1 = m_2 L - m_2 x_1$
$m_1 x_1 + m_2 x_1 = m_2 L$
$x_1 (m_1 + m_2) = m_2 L$
$x_1 = \frac{m_2 L}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения. Для удобства можно оставить длину $\text{L}$ в сантиметрах, тогда ответ также будет в сантиметрах.
$x_1 = \frac{3 \text{ кг} \cdot 60 \text{ см}}{1 \text{ кг} + 3 \text{ кг}} = \frac{180 \text{ кг} \cdot \text{см}}{4 \text{ кг}} = 45 \text{ см}$

Ответ: расстояние от точки крепления первого груза до точки подвеса стержня составляет 45 см.