Вариант 5*, страница 49 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Статика и гидромеханика. Самостоятельная работа № 1. Уравнение сил. Условия равновесия - страница 49.

Условие.

Вариант 5*

1. Груз массой $m = 2,7\text{ кг}$ подвешен на двух нитях так, как показано на рисунке. Угол $\alpha = 45^\circ$, угол $\beta = 60^\circ$. Определите силу $T_2$ натяжения нити.

2. Балку длиной 10 м и массой 900 кг равномерно поднимают на двух тросах в горизонтальном положении. Первый трос укреплён на одном конце балки, второй — на расстоянии 1 м от другого конца. Определите силы натяжения тросов.

Решение.

1. Дано:

$m = 2,7$ кг

$\alpha = 45^\circ$

$\beta = 60^\circ$

$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$T_2$

Решение:

Груз находится в равновесии, следовательно, векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю (первый закон Ньютона). На груз действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и силы натяжения нитей $\vec{T_1}$ и $\vec{T_2}$, направленные вдоль нитей.

$\vec{T_1} + \vec{T_2} + m\vec{g} = 0$

Выберем систему координат: ось $OX$ направим горизонтально вправо, а ось $OY$ – вертикально вверх. Спроецируем уравнение равновесия на эти оси.

Проекция на ось $OX$:

$-T_1 \cos\alpha + T_2 \cos\beta = 0$ (1)

Проекция на ось $OY$:

$T_1 \sin\alpha + T_2 \sin\beta - mg = 0$ (2)

Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными $T_1$ и $T_2$. Выразим $T_1$ из первого уравнения:

$T_1 = T_2 \frac{\cos\beta}{\cos\alpha}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(T_2 \frac{\cos\beta}{\cos\alpha}) \sin\alpha + T_2 \sin\beta = mg$

Вынесем $T_2$ за скобки:

$T_2 (\frac{\sin\alpha \cos\beta}{\cos\alpha} + \sin\beta) = mg$

$T_2 (\tan\alpha \cos\beta + \sin\beta) = mg$

Отсюда находим $T_2$:

$T_2 = \frac{mg}{\tan\alpha \cos\beta + \sin\beta}$

Подставим числовые значения. Сначала вычислим силу тяжести:

$mg = 2,7 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = 26,46 \text{ Н}$

Значения тригонометрических функций:

$\tan 45^\circ = 1$

$\cos 60^\circ = 0,5$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$

Вычисляем $T_2$:

$T_2 = \frac{26,46 \text{ Н}}{1 \cdot 0,5 + 0,866} = \frac{26,46 \text{ Н}}{1,366} \approx 19,37 \text{ Н}$

Ответ: Сила натяжения второй нити $T_2 \approx 19,4$ Н.

2. Дано:

$L = 10$ м

$M = 900$ кг

$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$T_1$, $T_2$

Решение:

Поскольку балку поднимают равномерно, она находится в состоянии равновесия. Для равновесия твердого тела необходимо выполнение двух условий:

1. Равенство нулю векторной суммы всех приложенных сил (условие равновесия поступательного движения).

2. Равенство нулю суммы моментов всех сил относительно любой оси (условие равновесия вращательного движения).

На балку действуют три силы: сила тяжести $M\vec{g}$, приложенная к центру масс балки (т.к. балка однородная, центр масс находится посередине, на расстоянии $L/2 = 5$ м от края), и силы натяжения тросов $\vec{T_1}$ и $\vec{T_2}$, направленные вертикально вверх. Первый трос закреплен на одном конце балки (примем эту точку за начало координат, $x_1=0$), второй – на расстоянии 1 м от другого конца, то есть в точке $x_2 = L - 1 \text{ м} = 10 - 1 = 9$ м.

1. Условие равенства сил. Спроецируем силы на вертикальную ось $OY$:

$T_1 + T_2 - Mg = 0 \implies T_1 + T_2 = Mg$

Вычислим силу тяжести балки:

$Mg = 900 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = 8820 \text{ Н}$

Итак, $T_1 + T_2 = 8820 \text{ Н}$.

2. Условие равенства моментов. Составим уравнение моментов сил относительно точки крепления первого троса (точка O, $x_1=0$). Момент силы $T_1$ относительно этой точки равен нулю. Момент силы тяжести $Mg$ создает вращение по часовой стрелке (отрицательный момент), а момент силы $T_2$ – против часовой стрелки (положительный момент).

$\Sigma M_O = M(T_2) - M(Mg) = 0$

$T_2 \cdot x_2 - Mg \cdot \frac{L}{2} = 0$

Отсюда выразим $T_2$:

$T_2 = \frac{Mg \cdot L/2}{x_2}$

Подставим числовые значения:

$T_2 = \frac{8820 \text{ Н} \cdot 10 \text{ м}/2}{9 \text{ м}} = \frac{8820 \text{ Н} \cdot 5 \text{ м}}{9 \text{ м}} = \frac{44100 \text{ Н} \cdot \text{м}}{9 \text{ м}} = 4900 \text{ Н}$

Теперь из условия равенства сил найдем $T_1$:

$T_1 = Mg - T_2 = 8820 \text{ Н} - 4900 \text{ Н} = 3920 \text{ Н}$

Ответ: Силы натяжения тросов равны $T_1 = 3920$ Н и $T_2 = 4900$ Н.