Вариант 1, страница 49 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Статика и гидромеханика. Самостоятельная работа № 2. Гидростатика. Плавание тел - страница 49.

Условие.

Вариант 1

1. В сообщающиеся сосуды одинакового сечения налили ртуть ($\rho_{\text{рт}} = 13\ 600\ \text{кг/м}^3$), затем в одно из колен налили жидкость с плотностью $544\ \text{кг/м}^3$, при этом в другом колене уровень ртути изменился на 2 см. Определите высоту столба налитой жидкости.

2. В воде плавает льдина, надводная часть которой имеет объём 20 $\text{м}^3$. Определите объём всей льдины ($\rho_{\text{л}} = 900\ \text{кг/м}^3$, $\rho_{\text{в}} = 1000\ \text{кг/м}^3$).

Решение.

1. Дано:
Плотность ртути $ \rho_{рт} = 13600 \text{ кг/м³} $
Плотность жидкости $ \rho_{ж} = 544 \text{ кг/м³} $
Изменение уровня ртути в другом колене $ \Delta h = 2 \text{ см} $

Перевод в СИ:
$ \Delta h = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м} $

Найти:
Высоту столба налитой жидкости $ h_{ж} $.

Решение:
Когда в одно из колен сообщающихся сосудов наливают жидкость, уровень ртути в этом колене опускается на некоторую высоту $ x $, а в другом колене поднимается на ту же высоту $ x $, так как сосуды имеют одинаковое сечение. По условию, уровень ртути в другом колене поднялся на $ \Delta h = 2 \text{ см} $. Следовательно, $ x = \Delta h = 2 \text{ см} $.

Таким образом, разность уровней ртути в двух коленах составит $ h_{рт} = x + x = 2x = 2 \cdot \Delta h = 2 \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см} $.

Согласно закону сообщающихся сосудов, давления на любом горизонтальном уровне в покоящейся жидкости должны быть одинаковы. Выберем в качестве уровня сравнения границу раздела между налитой жидкостью и ртутью. Давление столба налитой жидкости $ p_ж $ уравновешивается давлением избыточного столба ртути $ p_{рт} $ в другом колене.

$ p_ж = p_{рт} $

Давление столба жидкости вычисляется по формуле $ p = \rho g h $. Запишем равенство давлений:

$ \rho_{ж} g h_{ж} = \rho_{рт} g h_{рт} $

Сократим на ускорение свободного падения $ g $:

$ \rho_{ж} h_{ж} = \rho_{рт} h_{рт} $

Выразим искомую высоту столба жидкости $ h_{ж} $:

$ h_{ж} = \frac{\rho_{рт} h_{рт}}{\rho_{ж}} $

Переведем разность уровней ртути в СИ: $ h_{рт} = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м} $.

Подставим числовые значения:

$ h_{ж} = \frac{13600 \text{ кг/м³} \cdot 0.04 \text{ м}}{544 \text{ кг/м³}} = \frac{544}{544} \text{ м} = 1 \text{ м} $

Ответ: высота столба налитой жидкости равна 1 м.

2. Дано:
Надводный объем льдины $ V_{надв} = 20 \text{ м³} $
Плотность льда $ \rho_{л} = 900 \text{ кг/м³} $
Плотность воды $ \rho_{в} = 1000 \text{ кг/м³} $

Перевод в СИ:
Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:
Объем всей льдины $ V_{л} $.

Решение:
Льдина плавает в воде, следовательно, находится в состоянии равновесия. По условию плавания тел, действующая на льдину сила тяжести $ F_г $ уравновешена выталкивающей силой Архимеда $ F_А $.

$ F_г = F_А $

Сила тяжести, действующая на льдину: $ F_г = m_{л} g = \rho_{л} V_{л} g $, где $ V_{л} $ — полный объем льдины.

Сила Архимеда: $ F_А = \rho_{в} g V_{подв} $, где $ V_{подв} $ — объем подводной (погруженной) части льдины.

Приравняем выражения для сил:

$ \rho_{л} V_{л} g = \rho_{в} g V_{подв} $

$ \rho_{л} V_{л} = \rho_{в} V_{подв} $

Полный объем льдины $ V_{л} $ является суммой ее надводной $ V_{надв} $ и подводной $ V_{подв} $ частей:

$ V_{л} = V_{надв} + V_{подв} $

Отсюда выразим объем подводной части:

$ V_{подв} = V_{л} - V_{надв} $

Подставим это выражение в уравнение равновесия сил:

$ \rho_{л} V_{л} = \rho_{в} (V_{л} - V_{надв}) $

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы выразить $ V_{л} $:

$ \rho_{л} V_{л} = \rho_{в} V_{л} - \rho_{в} V_{надв} $

$ \rho_{в} V_{надв} = \rho_{в} V_{л} - \rho_{л} V_{л} $

$ \rho_{в} V_{надв} = V_{л} (\rho_{в} - \rho_{л}) $

$ V_{л} = \frac{\rho_{в} V_{надв}}{\rho_{в} - \rho_{л}} $

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$ V_{л} = \frac{1000 \text{ кг/м³} \cdot 20 \text{ м³}}{1000 \text{ кг/м³} - 900 \text{ кг/м³}} = \frac{20000}{100} \text{ м³} = 200 \text{ м³} $

Ответ: объем всей льдины равен 200 м³.