Вариант 5*, страница 51 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Статика и гидромеханика. Самостоятельная работа № 3. Движение жидкости. Уравнение Бернулли - страница 51.

Условие.

Вариант 5*

1. Для смазки инструмента используется шприц с площадью поршня 1 см². С какой скоростью вытекает масло ($ \rho_{\text{м}} = 800 \text{ кг/м}^3 $) из отверстия площадью 0,6 см², если на поршень действует сила 4 Н?

2. Определите высоту, на которую поднимется вода в вертикальной трубке, впаянной в узкую часть (диаметром 3 см) горизонтальной трубы (см. рисунок), если в широкой части этой же трубы (диаметром в 3 раза большим) скорость протекания воздуха составляет 0,25 м/с.

Решение.

1. Дано:

Площадь поршня $S_1 = 1 \text{ см}^2$

Площадь отверстия $S_2 = 0,6 \text{ см}^2$

Плотность масла $\rho_м = 800 \text{ кг/м}^3$

Сила, действующая на поршень $F = 4 \text{ Н}$

Перевод в систему СИ:

$S_1 = 1 \times 10^{-4} \text{ м}^2$

$S_2 = 0,6 \times 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

Скорость вытекания масла $v_2$ - ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением Бернулли для горизонтального потока жидкости и уравнением неразрывности.

Уравнение Бернулли: $P_1 + \frac{1}{2}\rho_м v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho_м v_2^2$.

Здесь $P_1$ и $v_1$ – давление и скорость масла под поршнем, а $P_2$ и $v_2$ – давление и скорость масла на выходе из отверстия.

Давление под поршнем создается внешней силой $\text{F}$, приложенной к площади $S_1$, и атмосферным давлением $P_{атм}$: $P_1 = P_{атм} + \frac{F}{S_1}$.

Давление на выходе из отверстия равно атмосферному, так как масло вытекает в атмосферу: $P_2 = P_{атм}$.

Подставим выражения для давлений в уравнение Бернулли:

$P_{атм} + \frac{F}{S_1} + \frac{1}{2}\rho_м v_1^2 = P_{атм} + \frac{1}{2}\rho_м v_2^2$

После сокращения $P_{атм}$ получаем:

$\frac{F}{S_1} = \frac{1}{2}\rho_м (v_2^2 - v_1^2)$

Уравнение неразрывности связывает скорости потока в разных сечениях: $S_1 v_1 = S_2 v_2$. Отсюда можно выразить скорость движения поршня: $v_1 = v_2 \frac{S_2}{S_1}$.

Подставим это выражение для $v_1$ в преобразованное уравнение Бернулли:

$\frac{F}{S_1} = \frac{1}{2}\rho_м \left(v_2^2 - \left(v_2 \frac{S_2}{S_1}\right)^2\right) = \frac{1}{2}\rho_м v_2^2 \left(1 - \frac{S_2^2}{S_1^2}\right)$

Выразим из этого уравнения искомую скорость $v_2$:

$v_2^2 = \frac{2F}{S_1 \rho_м (1 - S_2^2/S_1^2)} = \frac{2F S_1}{\rho_м (S_1^2 - S_2^2)}$

$v_2 = \sqrt{\frac{2F S_1}{\rho_м (S_1^2 - S_2^2)}}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$S_1^2 = (1 \times 10^{-4})^2 = 1 \times 10^{-8} \text{ м}^4$

$S_2^2 = (0,6 \times 10^{-4})^2 = 0,36 \times 10^{-8} \text{ м}^4$

$v_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 10^{-4}}{800 \cdot (1 \cdot 10^{-8} - 0,36 \cdot 10^{-8})}} = \sqrt{\frac{8 \cdot 10^{-4}}{800 \cdot 0,64 \cdot 10^{-8}}} = \sqrt{\frac{8 \cdot 10^{-4}}{512 \cdot 10^{-8}}} = \sqrt{\frac{8}{512} \cdot 10^4} = \sqrt{\frac{1}{64} \cdot 10^4} = \frac{100}{8} = 12,5 \text{ м/с}$.

Ответ: скорость вытекания масла составляет 12,5 м/с.

---

2. Дано:

Диаметр узкой части трубы $d_1 = 3 \text{ см}$

Соотношение диаметров $d_2 = 3 d_1$

Скорость воздуха в широкой части $v_2 = 0,25 \text{ м/с}$

Жидкость в вертикальной трубке - вода (плотность $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$)

Газ в горизонтальной трубе - воздух (плотность $\rho_{воз} \approx 1,29 \text{ кг/м}^3$)

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$d_1 = 0,03 \text{ м}$

$d_2 = 3 \cdot 0,03 = 0,09 \text{ м}$

Найти:

Высота подъема воды $\text{h}$ - ?

Решение:

Разница давлений воздуха в широкой и узкой частях горизонтальной трубы приводит к подъему столба воды в вертикальной трубке. Эту разницу можно описать, используя уравнение Бернулли и уравнение неразрывности для потока воздуха.

1. Сначала найдем скорость воздуха в узкой части трубы ($v_1$), используя уравнение неразрывности: $S_1 v_1 = S_2 v_2$, где $S_1$ и $S_2$ - площади поперечных сечений узкой и широкой частей трубы соответственно.

Поскольку $S = \frac{\pi d^2}{4}$, отношение площадей равно отношению квадратов диаметров: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{d_2^2}{d_1^2}$.

Из условия $d_2 = 3d_1$ следует, что $\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{3d_1}{d_1}\right)^2 = 9$.

Тогда скорость в узкой части: $v_1 = v_2 \frac{S_2}{S_1} = 9 v_2 = 9 \cdot 0,25 = 2,25 \text{ м/с}$.

2. Теперь найдем разность давлений $\Delta P = P_2 - P_1$ между широкой и узкой частями трубы с помощью уравнения Бернулли для горизонтального потока:

$P_1 + \frac{1}{2}\rho_{воз} v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho_{воз} v_2^2$

$\Delta P = P_2 - P_1 = \frac{1}{2}\rho_{воз} (v_1^2 - v_2^2)$.

3. Эта разность давлений уравновешивается гидростатическим давлением столба воды высотой $\text{h}$: $\Delta P = \rho_в g h$.

Приравняв два выражения для $\Delta P$, получим:

$\rho_в g h = \frac{1}{2}\rho_{воз} (v_1^2 - v_2^2)$

Отсюда выразим искомую высоту $\text{h}$:

$h = \frac{\rho_{воз} (v_1^2 - v_2^2)}{2 \rho_в g}$

Подставим числовые значения:

$h = \frac{1,29 \cdot (2,25^2 - 0,25^2)}{2 \cdot 1000 \cdot 9,8} = \frac{1,29 \cdot (5,0625 - 0,0625)}{19600} = \frac{1,29 \cdot 5}{19600} = \frac{6,45}{19600} \approx 0,000329 \text{ м}$.

Переведем результат в миллиметры для наглядности: $0,000329 \text{ м} \approx 0,33 \text{ мм}$.

Ответ: вода в вертикальной трубке поднимется на высоту примерно 0,33 мм.