Вариант 3, страница 53 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Молекулярная физика. Тепловые явления. Основы МКТ. Самостоятельная работа № 2. Основное уравнение МКТ - страница 53.

Условие.

Вариант 3

1. Газ массой $600 \text{ г}$ занимает сосуд объёмом $2 \text{ м}^3$. Определите скорость молекул газа при давлении в этом сосуде $100 \text{ кПа}$.

2. Газ оказывает давление $5 \cdot 10^4 \text{ Па}$ при концентрации молекул $2,1 \cdot 10^{24} \text{ м}^{-3}$. Определите температуру газа и среднюю кинетическую энергию молекул этого газа.

Решение.

1. Газ массой 600 г занимает сосуд объёмом 2 м³. Определите скорость молекул газа при давлении в этом сосуде 100 кПа.

Дано:

$m = 600 \text{ г} = 0.6 \text{ кг}$
$V = 2 \text{ м}^3$
$P = 100 \text{ кПа} = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

Найти:

$\langle v \rangle$ - ?

Решение:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) газов связывает давление $\text{P}$ со средней квадратичной скоростью молекул $\langle v \rangle$:
$P = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$
где $\text{n}$ - концентрация молекул, $m_0$ - масса одной молекулы.

Концентрацию можно выразить как $n = \frac{N}{V}$, где $\text{N}$ - общее число молекул, а $\text{V}$ - объём. Общая масса газа $\text{m}$ равна произведению числа молекул на массу одной молекулы: $m = N \cdot m_0$.
Подставим эти выражения в основное уравнение МКТ:
$P = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m_0 \langle v^2 \rangle = \frac{1}{3} \frac{N m_0}{V} \langle v^2 \rangle = \frac{1}{3} \frac{m}{V} \langle v^2 \rangle$

Из полученной формулы выразим квадрат средней квадратичной скорости:
$\langle v^2 \rangle = \frac{3PV}{m}$
Тогда средняя квадратичная скорость (которую в задаче просят найти как "скорость молекул") равна:
$\langle v \rangle = \sqrt{\frac{3PV}{m}}$

Подставим числовые значения в систему СИ:
$\langle v \rangle = \sqrt{\frac{3 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 2 \text{ м}^3}{0.6 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{6 \cdot 10^5}{0.6}} = \sqrt{10 \cdot 10^5} = \sqrt{10^6} = 1000 \text{ м/с}$

Ответ: скорость молекул газа равна 1000 м/с.

2. Газ оказывает давление 5·10⁴ Па при концентрации молекул 2,1·10²⁴ м⁻³. Определите температуру газа и среднюю кинетическую энергию молекул этого газа.

Дано:

$P = 5 \cdot 10^4 \text{ Па}$
$n = 2.1 \cdot 10^{24} \text{ м}^{-3}$
$k \approx 1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}$ (постоянная Больцмана)

Найти:

$\text{T}$ - ?
$\langle E_k \rangle$ - ?

Решение:

1. Для определения температуры газа воспользуемся формулой, связывающей давление, концентрацию и абсолютную температуру:
$P = n k T$
Выразим из этой формулы температуру $\text{T}$:
$T = \frac{P}{nk}$
Подставим заданные значения:
$T = \frac{5 \cdot 10^4 \text{ Па}}{2.1 \cdot 10^{24} \text{ м}^{-3} \cdot 1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}} = \frac{5 \cdot 10^4}{2.898 \cdot 10^1} \approx 1725.3 \text{ К}$

2. Среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул можно найти двумя способами.
Способ I: через найденную температуру.
$\langle E_k \rangle = \frac{3}{2} k T$
$\langle E_k \rangle = \frac{3}{2} \cdot 1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К} \cdot 1725.3 \text{ К} \approx 3.57 \cdot 10^{-20} \text{ Дж}$

Способ II: через давление и концентрацию.
Связь между давлением и средней кинетической энергией молекул выражается формулой:
$P = \frac{2}{3} n \langle E_k \rangle$
Выразим из этой формулы среднюю кинетическую энергию $\langle E_k \rangle$:
$\langle E_k \rangle = \frac{3P}{2n}$
Подставим заданные значения:
$\langle E_k \rangle = \frac{3 \cdot 5 \cdot 10^4 \text{ Па}}{2 \cdot 2.1 \cdot 10^{24} \text{ м}^{-3}} = \frac{15 \cdot 10^4}{4.2 \cdot 10^{24}} \approx 3.57 \cdot 10^{-20} \text{ Дж}$
Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: температура газа $T \approx 1725 \text{ К}$; средняя кинетическая энергия молекул $\langle E_k \rangle \approx 3.57 \cdot 10^{-20} \text{ Дж}$.