Вариант 5*, страница 53 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 2. Основное уравнение МКТ. Основы МКТ. Молекулярная физика. Тепловые явления - страница 53.

Условие.

Вариант 5*

1. Плотность кислорода в баллоне составляет 2 $kg/m^3$ при давлении 301 $kPa$. Определите среднюю кинетическую энергию молекул кислорода в этом баллоне.

2. Как изменится давление газа, если объём газа уменьшится в 3 раза, а средняя кинетическая энергия молекул увеличится в 2 раза?

Решение.

1. Дано:

Плотность кислорода, $\rho = 2 \text{ кг/м}^3$
Давление кислорода, $P = 301 \text{ кПа} = 301 \times 10^3 \text{ Па}$
Молярная масса кислорода (O₂), $M = 32 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}$
Число Авогадро, $N_A \approx 6,02 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Найти:

Средняя кинетическая энергия молекул, $\bar{E_k}$

Решение:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) связывает давление газа $\text{P}$ с концентрацией его молекул $\text{n}$ и средней кинетической энергией их поступательного движения $\bar{E_k}$:

$P = \frac{2}{3} n \bar{E_k}$

Концентрация молекул $\text{n}$ – это число молекул в единице объема. Её можно выразить через плотность газа $\rho$ и массу одной молекулы $m_0$:

$n = \frac{\rho}{m_0}$

Подставим выражение для концентрации в основное уравнение МКТ:

$P = \frac{2}{3} \frac{\rho}{m_0} \bar{E_k}$

Отсюда выразим среднюю кинетическую энергию:

$\bar{E_k} = \frac{3 P m_0}{2 \rho}$

Массу одной молекулы кислорода $m_0$ найдем, зная его молярную массу $\text{M}$ и число Авогадро $N_A$:

$m_0 = \frac{M}{N_A} = \frac{32 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}}{6,02 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 5,316 \times 10^{-26} \text{ кг}$

Теперь можем рассчитать среднюю кинетическую энергию:

$\bar{E_k} = \frac{3 \cdot (301 \times 10^3 \text{ Па}) \cdot (5,316 \times 10^{-26} \text{ кг})}{2 \cdot 2 \text{ кг/м}^3} = \frac{903 \times 10^3 \cdot 5,316 \times 10^{-26}}{4} \text{ Дж}$

$\bar{E_k} \approx \frac{4800 \times 10^{-23}}{4} \text{ Дж} = 1200 \times 10^{-23} \text{ Дж} = 1,2 \times 10^{-20} \text{ Дж}$

Ответ: средняя кинетическая энергия молекул кислорода составляет $1,2 \times 10^{-20} \text{ Дж}$.

2. Решение:

Воспользуемся основным уравнением МКТ, которое связывает давление газа $\text{P}$, концентрацию молекул $\text{n}$ и среднюю кинетическую энергию $\bar{E_k}$:

$P = \frac{2}{3} n \bar{E_k}$

Концентрация $\text{n}$ определяется как отношение числа молекул $\text{N}$ к объему $\text{V}$, который они занимают: $n = N/V$. Предполагая, что число молекул газа не изменяется ($N = \text{const}$), подставим это выражение в уравнение для давления:

$P = \frac{2}{3} \frac{N}{V} \bar{E_k}$

Запишем это уравнение для начального (индекс 1) и конечного (индекс 2) состояний газа:

$P_1 = \frac{2 N \bar{E_{k1}}}{3 V_1}$

$P_2 = \frac{2 N \bar{E_{k2}}}{3 V_2}$

Чтобы определить, как изменится давление, найдем отношение $P_2 / P_1$:

$\frac{P_2}{P_1} = \frac{\frac{2 N \bar{E_{k2}}}{3 V_2}}{\frac{2 N \bar{E_{k1}}}{3 V_1}} = \frac{\bar{E_{k2}}}{V_2} \cdot \frac{V_1}{\bar{E_{k1}}} = \frac{V_1}{V_2} \cdot \frac{\bar{E_{k2}}}{\bar{E_{k1}}}$

По условию задачи, объем газа уменьшился в 3 раза, то есть $V_2 = V_1 / 3$, откуда следует, что $\frac{V_1}{V_2} = 3$.

Средняя кинетическая энергия молекул увеличилась в 2 раза, то есть $\bar{E_{k2}} = 2 \bar{E_{k1}}$, откуда следует, что $\frac{\bar{E_{k2}}}{\bar{E_{k1}}} = 2$.

Подставим эти значения в наше отношение давлений:

$\frac{P_2}{P_1} = 3 \cdot 2 = 6$

Таким образом, давление газа увеличится в 6 раз.

Ответ: давление газа увеличится в 6 раз.