Номер 30, страница 17, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 1. Система отсчёта, траектория, путь и перемещение - номер 30, страница 17.

Условие.

30. Чему равны пройденный путь и модуль перемещения конца секундной стрелки длиной 20 см:

а) за 15 с;

б) за 30 с;

в) за 1 ч?

Решение 2.

Дано:

Длина секундной стрелки, $l = 20$ см

Время движения:

$t_a = 15$ с

$t_b = 30$ с

$t_c = 1$ ч

Перевод в систему СИ:

$l = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

$t_c = 1 \text{ ч} = 3600 \text{ с}$

Найти:

Пройденный путь $\text{S}$ и модуль перемещения $|\vec{\Delta r}|$ для каждого случая.

Решение:

Конец секундной стрелки движется по окружности, радиус которой равен длине стрелки: $r = l = 0.2$ м.

Период обращения секундной стрелки (время одного полного оборота) составляет $T = 60$ с.

Длина окружности, по которой движется конец стрелки, равна $C = 2\pi r = 2\pi \cdot 0.2 = 0.4\pi$ м.

а) за 15 с

За время $t_a = 15$ с стрелка совершит $t_a/T = 15/60 = 1/4$ полного оборота. Угол поворота составит $360^\circ / 4 = 90^\circ$.

Пройденный путь $S_a$ равен длине дуги в четверть окружности:

$S_a = \frac{1}{4} C = \frac{1}{4} \cdot 2\pi r = \frac{\pi r}{2} = \frac{\pi \cdot 0.2}{2} = 0.1\pi \text{ м} \approx 0.314 \text{ м}$.

Модуль перемещения $|\vec{\Delta r}_a|$ — это длина хорды, стягивающей дугу в $90^\circ$. Начальное и конечное положения конца стрелки вместе с центром циферблата образуют равнобедренный прямоугольный треугольник, где катеты — это радиусы $\text{r}$, а гипотенуза — перемещение. По теореме Пифагора:

$|\vec{\Delta r}_a| = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2} = 0.2\sqrt{2} \text{ м} \approx 0.283 \text{ м}$.

Ответ: Пройденный путь равен $0.1\pi \text{ м}$ (приблизительно 31.4 см), модуль перемещения равен $0.2\sqrt{2} \text{ м}$ (приблизительно 28.3 см).

б) за 30 с

За время $t_b = 30$ с стрелка совершит $t_b/T = 30/60 = 1/2$ полного оборота. Угол поворота составит $180^\circ$.

Пройденный путь $S_b$ равен длине половины окружности:

$S_b = \frac{1}{2} C = \frac{1}{2} \cdot 2\pi r = \pi r = \pi \cdot 0.2 = 0.2\pi \text{ м} \approx 0.628 \text{ м}$.

Модуль перемещения $|\vec{\Delta r}_b|$ — это расстояние между начальной и конечной точками, которые диаметрально противоположны. Следовательно, перемещение равно диаметру окружности:

$|\vec{\Delta r}_b| = 2r = 2 \cdot 0.2 = 0.4 \text{ м}$.

Ответ: Пройденный путь равен $0.2\pi \text{ м}$ (приблизительно 62.8 см), модуль перемещения равен $0.4 \text{ м}$ (40 см).

в) за 1 ч

За время $t_c = 1 \text{ ч} = 3600$ с секундная стрелка совершит $N = t_c/T = 3600/60 = 60$ полных оборотов.

Пройденный путь $S_c$ равен 60 длинам окружности:

$S_c = N \cdot C = 60 \cdot 2\pi r = 120\pi r = 120\pi \cdot 0.2 = 24\pi \text{ м} \approx 75.4 \text{ м}$.

Так как стрелка совершила целое число оборотов, ее конечное положение совпадает с начальным. Поэтому вектор перемещения является нулевым, и его модуль равен нулю.

$|\vec{\Delta r}_c| = 0 \text{ м}$.

Ответ: Пройденный путь равен $24\pi \text{ м}$ (приблизительно 75.4 м), модуль перемещения равен $0 \text{ м}$.