Номер 33, страница 18, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 1. Система отсчёта, траектория, путь и перемещение - номер 33, страница 18.

Условие.

33. Турист прошёл 2 км на юг, а потом ещё 4 км — на юго-восток. Чему равны модуль перемещения туриста и угол между вектором перемещения и направлением на юг?

Решение 2.

Дано:

Первое перемещение: $s_1 = 2$ км (направление на юг)

Второе перемещение: $s_2 = 4$ км (направление на юго-восток)

Найти:

Модуль полного перемещения $|\vec{S}|$ и угол $\alpha$ между вектором перемещения и направлением на юг.

Решение:

Полное перемещение туриста $\vec{S}$ является векторной суммой двух его перемещений: $\vec{S} = \vec{s_1} + \vec{s_2}$.

Для нахождения модуля и направления результирующего вектора воспользуемся геометрическим методом сложения векторов. Представим перемещения туриста в виде треугольника. Первая сторона — вектор $\vec{s_1}$ длиной 2 км, направленный на юг. От конца этого вектора откладываем второй вектор $\vec{s_2}$ длиной 4 км, направленный на юго-восток. Результирующий вектор $\vec{S}$ соединяет начало первого вектора с концом второго.

Угол между направлением на юг (продолжение вектора $\vec{s_1}$) и направлением на юго-восток (вектор $\vec{s_2}$) составляет $45°$. Следовательно, внутренний угол треугольника между сторонами $s_1$ и $s_2$ равен $180° - 45° = 135°$.

Модуль вектора полного перемещения $|\vec{S}|$ найдем по теореме косинусов для этого треугольника:

$|\vec{S}|^2 = s_1^2 + s_2^2 - 2s_1s_2\cos(135°)$

$|\vec{S}|^2 = 2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 4 + 16 + 8\sqrt{2} = 20 + 8\sqrt{2}$

$|\vec{S}| = \sqrt{20 + 8\sqrt{2}} \approx \sqrt{20 + 8 \cdot 1.414} = \sqrt{31.312} \approx 5.6$ км.

Теперь найдем угол $\alpha$ между вектором полного перемещения $\vec{S}$ и направлением на юг (то есть вектором $\vec{s_1}$). В нашем треугольнике этот угол противолежит стороне $s_2$. Воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{s_2}{\sin \alpha} = \frac{|\vec{S}|}{\sin 135°}$

Отсюда выразим $\sin \alpha$:

$\sin \alpha = \frac{s_2 \cdot \sin 135°}{|\vec{S}|} = \frac{4 \cdot (\sqrt{2}/2)}{\sqrt{20 + 8\sqrt{2}}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{20 + 8\sqrt{2}}} \approx 0.505$

$\alpha = \arcsin(0.505) \approx 30.35°$.

Округлим полученные значения для ответа.

Ответ: Модуль перемещения туриста равен примерно 5,6 км, а угол между вектором перемещения и направлением на юг составляет примерно 30°.