Номер 34, страница 18, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 1. Система отсчёта, траектория, путь и перемещение - номер 34, страница 18.

Условие.

34. Часы с часовой и минутной стрелками показывают ровно 12 часов. В какой ближайший момент времени модуль перемещения конца минутной стрелки будет максимально возможным в системе отсчёта, связанной с часовой стрелкой?

Решение 2.

Дано:

Начальный момент времени $t_0 = 12:00$.

Период обращения минутной стрелки $T_м = 1$ час.

Период обращения часовой стрелки $T_ч = 12$ часов.

$T_м = 1 \text{ час} = 60 \text{ мин} = 3600 \text{ с}$.
$T_ч = 12 \text{ час} = 720 \text{ мин} = 43200 \text{ с}$.

Найти:

Промежуток времени $\text{t}$, через который модуль перемещения конца минутной стрелки в системе отсчета, связанной с часовой стрелкой, будет максимальным.

Решение:

Рассмотрим движение в системе отсчета, связанной с часовой стрелкой. В этой системе отсчета часовая стрелка неподвижна. Минутная стрелка вращается относительно часовой с некоторой относительной угловой скоростью.

Найдем угловые скорости часовой и минутной стрелок относительно циферблата. Минутная стрелка совершает полный оборот ($2\pi$ радиан) за 1 час, а часовая – за 12 часов.

Угловая скорость минутной стрелки:

$\omega_м = \frac{2\pi}{T_м} = \frac{2\pi}{60 \text{ мин}}$

Угловая скорость часовой стрелки:

$\omega_ч = \frac{2\pi}{T_ч} = \frac{2\pi}{12 \cdot 60 \text{ мин}} = \frac{2\pi}{720 \text{ мин}}$

Относительная угловая скорость минутной стрелки относительно часовой равна разности их угловых скоростей, так как они вращаются в одном направлении:

$\omega_{отн} = \omega_м - \omega_ч = \frac{2\pi}{60} - \frac{2\pi}{720} = 2\pi(\frac{1}{60} - \frac{1}{720}) = 2\pi(\frac{12-1}{720}) = 2\pi \frac{11}{720} = \frac{11\pi}{360} \frac{\text{рад}}{\text{мин}}$

В начальный момент времени (12:00) обе стрелки совпадают. Перемещение конца минутной стрелки в системе отсчета часовой стрелки – это вектор, соединяющий начальное и конечное положение конца минутной стрелки в этой системе. Пусть длина минутной стрелки равна $\text{R}$. Тогда ее конец движется по окружности радиуса $\text{R}$. Модуль перемещения будет максимальным, когда конец минутной стрелки окажется в диаметрально противоположной точке относительно своего начального положения. Максимальное перемещение будет равно диаметру окружности, то есть $2R$. Это произойдет, когда минутная стрелка повернется на угол $\Delta\varphi = \pi$ радиан ($180^\circ$) относительно часовой стрелки.

Время $\text{t}$, необходимое для этого, можно найти из соотношения:

$\Delta\varphi = \omega_{отн} \cdot t$

Отсюда находим время $\text{t}$:

$t = \frac{\Delta\varphi}{\omega_{отн}} = \frac{\pi}{\frac{11\pi}{360}} = \frac{360}{11}$ мин.

Переведем это время в более привычный формат:

$t = \frac{360}{11} \text{ мин} = 32 \frac{8}{11} \text{ мин}$.

Чтобы выразить дробную часть в секундах, умножим ее на 60:

$\frac{8}{11} \text{ мин} = \frac{8}{11} \cdot 60 \text{ с} = \frac{480}{11} \text{ с} = 43 \frac{7}{11} \text{ с}$.

Таким образом, искомый момент времени наступит через 32 минуты и $43 \frac{7}{11}$ секунды после 12:00.

Ответ: Ближайший такой момент времени наступит через $t = \frac{360}{11}$ минуты (или 32 минуты и $43 \frac{7}{11}$ секунды) после 12:00. На часах будет 12 часов 32 минуты $43 \frac{7}{11}$ секунды.