Номер 31, страница 18, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 1. Система отсчёта, траектория, путь и перемещение - номер 31, страница 18.

Условие.

31. Взлетев с Южного полюса, самолёт полетел вдоль меридиана. Долетев до экватора, самолёт повернул под прямым углом и пролетел ещё такое же расстояние. Чему равен модуль перемещения самолёта в системе отсчёта, связанной с Землёй?

Решение 2.

Дано:

Начальная точка движения: Южный полюс.
Первый этап: полет вдоль меридиана до экватора. Пройденный путь $S_1$.
Второй этап: поворот на $90^\circ$ и полет на такое же расстояние $S_2 = S_1$.
Примем, что Земля имеет форму шара радиусом $\text{R}$.

Найти:

Модуль перемещения $|\vec{s}|$ самолёта.

Решение:

Для решения задачи введем трехмерную декартову систему координат, начало которой ($\text{O}$) находится в центре Земли. Ось $Oz$ направим вдоль оси вращения Земли так, чтобы Северный полюс находился в точке с координатой $z = R$, а Южный полюс (начальная точка $P_1$) — в точке с координатой $z = -R$. Таким образом, начальные координаты самолёта:

$P_1 = (0, 0, -R)$

Первый этап полета — движение вдоль меридиана от Южного полюса до экватора. Расстояние, которое пролетает самолёт, равно четверти длины меридиана (большой окружности Земли).

$S_1 = \frac{1}{4} \cdot (2\pi R) = \frac{\pi R}{2}$

Пусть самолёт движется по меридиану, лежащему в плоскости $Oxz$. Тогда, достигнув экватора (плоскость $Oxy$), он окажется в точке $P_2$ с координатами:

$P_2 = (R, 0, 0)$

На втором этапе самолёт поворачивает под прямым углом и пролетает такое же расстояние $S_2 = S_1 = \frac{\pi R}{2}$. Поворот под прямым углом к меридиану в точке на экваторе означает, что дальнейшее движение будет происходить вдоль экватора.

Длина дуги, которую пролетел самолёт вдоль экватора, связана с центральным углом $\alpha$ соотношением $S_2 = \alpha \cdot R$. Отсюда можем найти угол:

$\alpha = \frac{S_2}{R} = \frac{\pi R / 2}{R} = \frac{\pi}{2}$ радиан, или $90^\circ$.

Это означает, что конечная точка $P_3$ находится на экваторе и смещена относительно точки $P_2$ на угол $90^\circ$. Если координаты $P_2$ были $(R, 0, 0)$, то после поворота на $90^\circ$ в плоскости $Oxy$ конечная точка $P_3$ будет иметь координаты:

$P_3 = (0, R, 0)$

Перемещение $\vec{s}$ — это вектор, соединяющий начальную ($P_1$) и конечную ($P_3$) точки траектории. Его координаты:

$\vec{s} = P_3 - P_1 = (0-0, R-0, 0-(-R)) = (0, R, R)$

Модуль перемещения $|\vec{s}|$ — это длина этого вектора (прямое расстояние между точками $P_1$ и $P_3$):

$|\vec{s}| = \sqrt{0^2 + R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$

Ответ: Модуль перемещения самолёта равен $R\sqrt{2}$, где $\text{R}$ — радиус Земли.