Номер 39, страница 40, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 3. Прямолинейное равноускоренное движение - номер 39, страница 40.

Условие.

39. Шарик толкнули снизу вверх по наклонному жёлобу. У флажка, установленного на расстоянии 30 см от нижнего края жёлоба, шарик побывал через 1 с и через 3 с после толчка. Чему равен весь пройденный шариком путь до возвращения в начальную точку? Шарик движется вверх и вниз с одинаковым по модулю ускорением.

Решение 2.

Дано:

$s_{ф} = 30$ см

$t_1 = 1$ с

$t_2 = 3$ с

Перевод в систему СИ:

$s_{ф} = 0.3$ м

Найти:

$S_{полн}$ — ?

Решение:

Движение шарика является равноускоренным. Направим ось координат вверх вдоль жёлоба, поместив её начало в точку старта. Тогда уравнение движения шарика имеет вид:

$s(t) = v_0 t - \frac{at^2}{2}$

где $v_0$ — начальная скорость шарика, $\text{a}$ — модуль его ускорения.

По условию, шарик проходит мимо флажка, находящегося на расстоянии $s_{ф} = 0.3$ м, в моменты времени $t_1 = 1$ с (при движении вверх) и $t_2 = 3$ с (при движении вниз). Это означает, что координата шарика в эти моменты времени одинакова. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} s_{ф} = v_0 t_1 - \frac{at_1^2}{2} \\ s_{ф} = v_0 t_2 - \frac{at_2^2}{2} \end{cases}$

Подставим числовые значения:

$\begin{cases} 0.3 = v_0 \cdot 1 - \frac{a \cdot 1^2}{2} \\ 0.3 = v_0 \cdot 3 - \frac{a \cdot 3^2}{2} \end{cases} \implies \begin{cases} 0.3 = v_0 - 0.5a \\ 0.3 = 3v_0 - 4.5a \end{cases}$

Из первого уравнения выразим начальную скорость: $v_0 = 0.3 + 0.5a$.

Подставим это выражение во второе уравнение, чтобы найти ускорение:

$0.3 = 3(0.3 + 0.5a) - 4.5a$

$0.3 = 0.9 + 1.5a - 4.5a$

$0.3 = 0.9 - 3a$

$3a = 0.6$

$a = 0.2$ м/с²

Теперь найдем начальную скорость $v_0$:

$v_0 = 0.3 + 0.5 \cdot 0.2 = 0.3 + 0.1 = 0.4$ м/с

Весь пройденный путь до возвращения в начальную точку $S_{полн}$ складывается из пути вверх до полной остановки $S_{max}$ и пути вниз, который равен $S_{max}$. Таким образом, $S_{полн} = 2S_{max}$.

Максимальную высоту подъема (максимальное расстояние) можно найти по формуле, связывающей перемещение, скорости и ускорение:

$S_{max} = \frac{v_{кон}^2 - v_0^2}{2(-a)}$

В верхней точке траектории конечная скорость $v_{кон} = 0$.

$S_{max} = \frac{0^2 - v_0^2}{-2a} = \frac{v_0^2}{2a}$

Подставим найденные значения $v_0$ и $\text{a}$:

$S_{max} = \frac{(0.4)^2}{2 \cdot 0.2} = \frac{0.16}{0.4} = 0.4$ м

Тогда полный пройденный путь равен:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{max} = 2 \cdot 0.4 = 0.8$ м

Ответ: весь пройденный шариком путь равен $0.8$ м.