Номер 3, страница 151 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

11. Электромагнетизм. 11.12.3. Изменение площади контура - номер 3, страница 151.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Длина каждой проволоки: $l$

Количество проволок: 4

Начальная форма: квадрат

Индукция магнитного поля: $B$

Ориентация поля: перпендикулярно плоскости контура

Конечная форма: прямой проводник

Сопротивление каждой проволоки: $R$

Найти:

Электрический заряд $q$, прошедший через амперметр.

Решение:

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, при изменении магнитного потока $\Phi$ через замкнутый проводящий контур в нем возникает электродвижущая сила (ЭДС) индукции $\mathcal{E}_{ind}$: $$ \mathcal{E}_{ind} = -\frac{d\Phi}{dt} $$ Эта ЭДС создает в контуре индукционный ток. Заряд $q$, прошедший по контуру за время $dt$, равен $dq = I dt$. По закону Ома для замкнутой цепи, ток $I = \frac{\mathcal{E}_{ind}}{R_{общ}}$, где $R_{общ}$ — полное сопротивление контура.

Следовательно, мы можем написать: $$ dq = \frac{\mathcal{E}_{ind}}{R_{общ}} dt = -\frac{1}{R_{общ}} \frac{d\Phi}{dt} dt = -\frac{d\Phi}{R_{общ}} $$ Проинтегрировав это выражение по всему времени процесса, найдем общий заряд $q$, прошедший через любую точку контура (включая амперметр): $$ q = \int dq = \int_{\Phi_{нач}}^{\Phi_{кон}} -\frac{d\Phi}{R_{общ}} = -\frac{1}{R_{общ}} (\Phi_{кон} - \Phi_{нач}) = -\frac{\Delta \Phi}{R_{общ}} $$ Величина прошедшего заряда зависит только от полного изменения магнитного потока и общего сопротивления контура, но не от времени, за которое это изменение произошло.

Контур состоит из четырех одинаковых проволок сопротивлением $R$ каждая, соединенных последовательно. Общее сопротивление контура: $$ R_{общ} = 4R $$

Магнитный поток $\Phi$ через контур определяется как $\Phi = B \cdot S$, поскольку магнитное поле $B$ однородно и перпендикулярно плоскости контура.

В начальном состоянии контур представляет собой квадрат со стороной $l$. Его начальная площадь: $$ S_{нач} = l^2 $$ Начальный магнитный поток: $$ \Phi_{нач} = B \cdot S_{нач} = B l^2 $$

В конечном состоянии, когда противоположные вершины растягивают, квадрат превращается в вырожденный ромб (прямой проводник), площадь которого равна нулю: $$ S_{кон} = 0 $$ Следовательно, конечный магнитный поток также равен нулю: $$ \Phi_{кон} = 0 $$

Изменение магнитного потока за весь процесс составляет: $$ \Delta \Phi = \Phi_{кон} - \Phi_{нач} = 0 - B l^2 = -B l^2 $$

Подставим найденные значения $R_{общ}$ и $\Delta \Phi$ в формулу для заряда $q$: $$ q = -\frac{\Delta \Phi}{R_{общ}} = -\frac{-B l^2}{4R} = \frac{B l^2}{4R} $$

Ответ: электрический заряд, который пройдёт через амперметр, равен $q = \frac{B l^2}{4R}$.