Номер 11, страница 160 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

12.2. Колебательный контур. 12. Электромагнитные колебания и волны - номер 11, страница 160.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$d_1$ — начальный зазор между пластинами конденсатора

$d_2$ — конечный зазор между пластинами конденсатора

$d_2 = 4d_1$

$L$ — индуктивность контура (постоянная)

Найти:

$\frac{\nu_2}{\nu_1}$ — отношение конечной собственной частоты колебаний к начальной.

Решение:

Собственная частота электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре (LC-контуре) определяется по формуле Томсона: $$ \nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} $$ где $L$ — индуктивность катушки, а $C$ — ёмкость конденсатора.

Ёмкость плоского воздушного конденсатора (или с однородным диэлектриком) вычисляется по формуле: $$ C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d} $$ где $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды между пластинами, $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная, $S$ — площадь пластин, $d$ — зазор между пластинами.

Из этой формулы видно, что ёмкость конденсатора $C$ обратно пропорциональна зазору $d$ между его пластинами.

Пусть начальная ёмкость конденсатора равна $C_1$ при зазоре $d_1$: $$ C_1 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d_1} $$ По условию задачи, зазор увеличили в 4 раза, то есть новый зазор $d_2 = 4d_1$. Новая ёмкость $C_2$ будет равна: $$ C_2 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d_2} = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{4d_1} = \frac{1}{4} \left( \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d_1} \right) = \frac{C_1}{4} $$ Таким образом, при увеличении зазора в 4 раза ёмкость конденсатора уменьшается в 4 раза.

Теперь определим, как изменится частота. Индуктивность контура $L$ остается неизменной. Начальная частота: $$ \nu_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}} $$ Конечная частота: $$ \nu_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}} $$ Найдем отношение конечной частоты к начальной: $$ \frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}} = \frac{2\pi\sqrt{LC_1}}{2\pi\sqrt{LC_2}} = \sqrt{\frac{LC_1}{LC_2}} = \sqrt{\frac{C_1}{C_2}} $$ Подставим в это соотношение найденное значение $C_2 = \frac{C_1}{4}$: $$ \frac{\nu_2}{\nu_1} = \sqrt{\frac{C_1}{C_1/4}} = \sqrt{4} = 2 $$ Следовательно, конечная частота в 2 раза больше начальной: $\nu_2 = 2\nu_1$.

Ответ: собственная частота колебаний увеличится в 2 раза.