Номер 14, страница 160 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

12. Электромагнитные колебания и волны. 12.2. Колебательный контур - номер 14, страница 160.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Начальная ёмкость конденсатора: $C_1 = C$

Количество дополнительно подключенных конденсаторов: $n = 3$

Ёмкость каждого дополнительного конденсатора: $C$

Соединение конденсаторов: последовательное

Найти:

Отношение новой частоты к начальной: $\frac{f_2}{f_1}$

Решение:

Частота свободных электромагнитных колебаний в колебательном контуре (LC-контуре) определяется формулой Томсона для периода, из которой следует формула для частоты: $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$, где $L$ - индуктивность катушки, а $C$ - ёмкость конденсатора.

В начальном состоянии в контуре был один конденсатор ёмкостью $C_1 = C$. Начальная частота колебаний $f_1$ была равна: $f_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Затем к этому конденсатору последовательно подключили ещё три таких же конденсатора. Общее число одинаковых конденсаторов, соединенных последовательно, стало $1 + 3 = 4$.

При последовательном соединении конденсаторов обратная величина общей ёмкости $C_{общ}$ (обозначим её $C_2$) равна сумме обратных величин ёмкостей каждого конденсатора: $\frac{1}{C_{общ}} = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{C_i}$

В нашем случае все $N=4$ конденсатора имеют одинаковую ёмкость $C$. Тогда новая общая ёмкость $C_2$ находится из соотношения: $\frac{1}{C_2} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{4}{C}$

Отсюда новая общая ёмкость контура: $C_2 = \frac{C}{4}$

Новая частота колебаний $f_2$ при неизменной индуктивности $L$ будет равна: $f_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L \cdot \frac{C}{4}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{LC}{4}}} = \frac{1}{2\pi \frac{\sqrt{LC}}{2}} = \frac{2}{2\pi\sqrt{LC}}$

Теперь найдем, во сколько раз изменилась частота, для этого вычислим отношение новой частоты $f_2$ к начальной $f_1$: $\frac{f_2}{f_1} = \frac{\frac{2}{2\pi\sqrt{LC}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}} = 2$

Таким образом, частота колебаний увеличится в 2 раза.

Ответ: частота колебаний увеличится в 2 раза.