Номер 2, страница 160 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

12.3. Сила тока в катушке, заряд и напряжение на конденсаторе. 12. Электромагнитные колебания и волны - номер 2, страница 160.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Уравнение изменения заряда на пластинах конденсатора: $q(t) = 10^{-6} \sin(10^4 \pi t)$

Величины в уравнении даны в системе СИ (заряд $q$ в Кулонах, время $t$ в секундах).

Найти:

Амплитуду колебаний силы тока $I_m$.

Решение:

Сила тока $I$ в цепи по определению является первой производной от заряда $q$ по времени $t$:

$I(t) = q'(t) = \frac{dq}{dt}$

Чтобы найти закон изменения силы тока, нужно продифференцировать по времени заданное уравнение для заряда:

$I(t) = \frac{d}{dt} (10^{-6} \sin(10^4 \pi t))$

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: $(A \sin(\omega t))' = A \omega \cos(\omega t)$.

В нашем случае амплитуда заряда $q_m = 10^{-6}$ Кл, а циклическая частота $\omega = 10^4 \pi$ рад/с.

Тогда производная будет равна:

$I(t) = 10^{-6} \cdot (10^4 \pi) \cdot \cos(10^4 \pi t)$

$I(t) = 10^{-2} \pi \cos(10^4 \pi t)$

Это уравнение описывает колебания силы тока в контуре. Общий вид уравнения колебаний силы тока — $I(t) = I_m \cos(\omega t + \phi_0)$, где $I_m$ — это амплитуда колебаний силы тока (максимальное значение силы тока).

Сравнивая полученное нами уравнение с общим видом, находим, что амплитуда силы тока $I_m$ равна коэффициенту перед функцией косинуса:

$I_m = 10^{-2}\pi$ А

Можно также воспользоваться готовой формулой для амплитуды тока: $I_m = q_m \cdot \omega$.

Из уравнения $q(t) = 10^{-6} \sin(10^4 \pi t)$ находим:

• Амплитуда заряда $q_m = 10^{-6}$ Кл.
• Циклическая частота $\omega = 10^4 \pi$ рад/с.

Подставляем значения в формулу:

$I_m = 10^{-6} \cdot 10^4 \pi = 10^{-2} \pi$ А.

Результат совпадает. Вычислим численное значение, приняв $\pi \approx 3,14$:

$I_m = 0,01 \cdot 3,14 = 0,0314$ А.

Ответ: Амплитуда колебаний силы тока в контуре равна $10^{-2}\pi$ А, что приблизительно составляет $0,0314$ А или $31,4$ мА.