Номер 13, страница 160 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

12.2. Колебательный контур. 12. Электромагнитные колебания и волны - номер 13, страница 160.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Начальная ёмкость контура: $C_1 = C$

Количество дополнительных идентичных конденсаторов: $3$

Схема подключения дополнительных конденсаторов: параллельная

Индуктивность контура: $L$ (не изменяется)

Найти:

Во сколько раз изменится собственная частота колебаний.

Решение:

Собственная частота электромагнитных колебаний в LC-контуре (идеальном колебательном контуре) определяется по формуле Томсона:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $\nu$ — частота, $L$ — индуктивность катушки, $C$ — ёмкость конденсатора.

В начальном состоянии частота колебаний $\nu_1$ при ёмкости $C_1 = C$ равна:

$\nu_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

При подключении ещё трёх таких же конденсаторов параллельно исходному их общая ёмкость $C_2$ становится равной сумме ёмкостей всех конденсаторов, так как при параллельном соединении ёмкости складываются:

$C_2 = C + C + C + C = 4C$

Теперь в контуре общая ёмкость равна $C_2 = 4C$. Новая собственная частота колебаний $\nu_2$ при неизменной индуктивности $L$ составит:

$\nu_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L(4C)}} = \frac{1}{2\pi \cdot 2\sqrt{LC}} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\right)$

Чтобы найти, во сколько раз изменилась частота, найдём отношение новой частоты $\nu_2$ к начальной $\nu_1$. Из формул выше видно, что частота обратно пропорциональна квадратному корню из ёмкости:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}} = \sqrt{\frac{C_1}{C_2}}$

Подставим значения ёмкостей $C_1=C$ и $C_2=4C$:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \sqrt{\frac{C}{4C}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

Отношение равно $\frac{1}{2}$, это означает, что новая частота в 2 раза меньше начальной.

Ответ: собственная частота колебаний уменьшится в 2 раза.