Номер 10, страница 162 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

12. Электромагнитные колебания и волны. 12.4. Свободные электромагнитные колебания. Закон сохранения энергии - номер 10, страница 162.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Амплитуда силы тока $I_{max} = 10 \text{ мА}$

Амплитуда заряда $q_{max} = 5 \text{ нКл}$

Мгновенный заряд $q = 3 \text{ нКл}$

Перевод в СИ:

$I_{max} = 10 \times 10^{-3} \text{ А} = 0.01 \text{ А}$

$q_{max} = 5 \times 10^{-9} \text{ Кл}$

$q = 3 \times 10^{-9} \text{ Кл}$

Найти:

Мгновенная сила тока $i$

Решение:

В идеальном колебательном контуре (без потерь энергии) полная электромагнитная энергия сохраняется. Она состоит из энергии магнитного поля катушки индуктивности ($W_L$) и энергии электрического поля конденсатора ($W_C$).

Полная энергия контура в любой момент времени $t$ равна сумме этих энергий:

$W = W_L + W_C = \frac{L i^2}{2} + \frac{q^2}{2C}$

где $L$ – индуктивность катушки, $C$ – ёмкость конденсатора, а $i$ и $q$ – мгновенные значения силы тока и заряда соответственно.

Полная энергия контура также равна ее максимальному значению, которое достигается, когда вся энергия сосредоточена либо в катушке (ток максимален, $I_{max}$, а заряд $q=0$), либо в конденсаторе (заряд максимален, $q_{max}$, а ток $i=0$):

$W = \frac{L I_{max}^2}{2} = \frac{q_{max}^2}{2C}$

Используя закон сохранения энергии, приравняем полную энергию в произвольный момент времени к ее максимальному значению:

$\frac{L i^2}{2} + \frac{q^2}{2C} = \frac{q_{max}^2}{2C}$

Умножим обе части уравнения на 2 и перенесём слагаемое с зарядом вправо:

$L i^2 = \frac{q_{max}^2}{C} - \frac{q^2}{C} = \frac{q_{max}^2 - q^2}{C}$

Отсюда выразим квадрат мгновенной силы тока:

$i^2 = \frac{q_{max}^2 - q^2}{LC}$

Из равенства максимальных энергий $\frac{L I_{max}^2}{2} = \frac{q_{max}^2}{2C}$ следует, что $LC = \frac{q_{max}^2}{I_{max}^2}$. Подставим это выражение в формулу для $i^2$:

$i^2 = \frac{q_{max}^2 - q^2}{\frac{q_{max}^2}{I_{max}^2}} = I_{max}^2 \cdot \frac{q_{max}^2 - q^2}{q_{max}^2} = I_{max}^2 \left(1 - \frac{q^2}{q_{max}^2}\right)$

Извлекая квадратный корень, получаем формулу для нахождения мгновенного значения силы тока:

$i = I_{max} \sqrt{1 - \left(\frac{q}{q_{max}}\right)^2}$

Подставим числовые значения из условия задачи. Обратим внимание, что отношение $\frac{q}{q_{max}}$ является безразмерной величиной, поэтому можно подставлять значения заряда в нанокулонах, а амплитуду тока — в миллиамперах. В этом случае результат для силы тока также будет в миллиамперах.

$i = 10 \text{ мА} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{3 \text{ нКл}}{5 \text{ нКл}}\right)^2} = 10 \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2}$

$i = 10 \cdot \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = 10 \cdot \sqrt{\frac{25-9}{25}} = 10 \cdot \sqrt{\frac{16}{25}}$

$i = 10 \cdot \frac{4}{5} = 8 \text{ мА}$

Ответ: сила тока в катушке в этот момент равна 8 мА.