Номер 9, страница 162 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

12. Электромагнитные колебания и волны. 12.4. Свободные электромагнитные колебания. Закон сохранения энергии - номер 9, страница 162.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$I_{max} = 5 \text{ мА} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ А}$

$U_{max} = 2 \text{ В}$

$i = 3 \text{ мА} = 3 \cdot 10^{-3} \text{ А}$

Найти:

$u$ - ?

Решение:

Для идеального электрического колебательного контура (без активного сопротивления) выполняется закон сохранения энергии. Полная энергия контура, складывающаяся из энергии магнитного поля катушки индуктивности ($W_L$) и энергии электрического поля конденсатора ($W_C$), остается постоянной.

В любой момент времени полная энергия равна:

$W_{полная} = W_L + W_C = \frac{Li^2}{2} + \frac{Cu^2}{2}$

где $L$ — индуктивность катушки, $C$ — ёмкость конденсатора, $i$ — мгновенное значение силы тока в катушке, $u$ — мгновенное значение напряжения на конденсаторе.

Полная энергия контура также равна максимальному значению энергии, которое попеременно запасается то в катушке, то в конденсаторе.

Максимальная энергия в катушке (когда напряжение на конденсаторе равно нулю):

$W_{полная} = W_{L,max} = \frac{LI_{max}^2}{2}$

Максимальная энергия в конденсаторе (когда ток в контуре равен нулю):

$W_{полная} = W_{C,max} = \frac{CU_{max}^2}{2}$

Приравнивая выражения для полной энергии, получаем закон сохранения энергии для любого момента времени:

$\frac{Li^2}{2} + \frac{Cu^2}{2} = \frac{CU_{max}^2}{2}$

Также справедливо равенство максимальных энергий:

$\frac{LI_{max}^2}{2} = \frac{CU_{max}^2}{2} \implies LI_{max}^2 = CU_{max}^2$

Для решения задачи удобно привести закон сохранения энергии к виду, не содержащему $L$ и $C$. Разделим уравнение $\frac{Li^2}{2} + \frac{Cu^2}{2} = \frac{CU_{max}^2}{2}$ на $\frac{CU_{max}^2}{2}$:

$\frac{Li^2}{CU_{max}^2} + \frac{Cu^2}{CU_{max}^2} = 1$

Подставим в это выражение $CU_{max}^2 = LI_{max}^2$:

$\frac{Li^2}{LI_{max}^2} + \frac{u^2}{U_{max}^2} = 1$

Сократив $L$, получаем соотношение, связывающее мгновенные значения тока и напряжения с их амплитудами:

$\frac{i^2}{I_{max}^2} + \frac{u^2}{U_{max}^2} = 1$

Выразим из этого уравнения искомое напряжение $u$:

$\frac{u^2}{U_{max}^2} = 1 - \frac{i^2}{I_{max}^2}$

$u^2 = U_{max}^2 \left(1 - \frac{i^2}{I_{max}^2}\right)$

$u = U_{max} \sqrt{1 - \frac{i^2}{I_{max}^2}}$

Подставим данные из условия задачи. Обратите внимание, что так как мы используем отношение токов ($i/I_{max}$), можно не переводить их в СИ, если единицы измерения одинаковы (мА).

$u = 2 \cdot \sqrt{1 - \frac{3^2}{5^2}} = 2 \cdot \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{25-9}{25}}$

$u = 2 \cdot \sqrt{\frac{16}{25}} = 2 \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{5} = 1.6 \text{ В}$

Ответ: $1.6 \text{ В}$.