Номер 8, страница 162 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

12. Электромагнитные колебания и волны. 12.4. Свободные электромагнитные колебания. Закон сохранения энергии - номер 8, страница 162.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Максимальный заряд на конденсаторе, $q_{max} = 6 \text{ мкКл}$

Индуктивность катушки, $L = 3 \text{ мГн}$

Электроёмкость конденсатора, $C = 2 \text{ мкФ}$

Сила тока в контуре, $i = 0,024 \text{ А}$

Перевод в систему СИ:

$q_{max} = 6 \times 10^{-6} \text{ Кл}$

$L = 3 \times 10^{-3} \text{ Гн}$

$C = 2 \times 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти:

Заряд на конденсаторе в данный момент времени, $q$.

Решение:

В идеальном колебательном контуре полная электромагнитная энергия сохраняется. Она складывается из энергии электрического поля конденсатора $W_C$ и энергии магнитного поля катушки индуктивности $W_L$.

Энергия конденсатора в произвольный момент времени определяется формулой: $W_C = \frac{q^2}{2C}$.

Энергия катушки в произвольный момент времени: $W_L = \frac{Li^2}{2}$.

Полная энергия контура $W$ в любой момент времени равна сумме этих энергий: $W = W_C + W_L = \frac{q^2}{2C} + \frac{Li^2}{2}$.

Полная энергия контура также равна максимальной энергии, запасенной в конденсаторе, когда сила тока в контуре равна нулю ($i=0$). В этот момент заряд на конденсаторе максимален ($q = q_{max}$). $W = W_{C, max} = \frac{q_{max}^2}{2C}$.

Согласно закону сохранения энергии, можно приравнять выражения для полной энергии: $\frac{q_{max}^2}{2C} = \frac{q^2}{2C} + \frac{Li^2}{2}$.

Для нахождения мгновенного заряда $q$ выразим его из этого уравнения. Сначала умножим обе части уравнения на $2C$: $q_{max}^2 = q^2 + Li^2C$.

Отсюда выражаем $q^2$: $q^2 = q_{max}^2 - Li^2C$.

И, наконец, находим $q$: $q = \sqrt{q_{max}^2 - Li^2C}$.

Подставим числовые значения в полученную формулу, используя данные в системе СИ: $q = \sqrt{(6 \times 10^{-6})^2 - (3 \times 10^{-3}) \times (0,024)^2 \times (2 \times 10^{-6})}$.

Проведем вычисления: $q = \sqrt{36 \times 10^{-12} - (3 \times 10^{-3}) \times (5,76 \times 10^{-4}) \times (2 \times 10^{-6})}$.

$q = \sqrt{36 \times 10^{-12} - 3,456 \times 10^{-12}}$.

$q = \sqrt{32,544 \times 10^{-12}} = \sqrt{32,544} \times 10^{-6} \text{ Кл}$.

$q \approx 5,7 \times 10^{-6} \text{ Кл}$.

Переведем результат в микрокулоны: $5,7 \times 10^{-6} \text{ Кл} = 5,7 \text{ мкКл}$.

Ответ: заряд на конденсаторе в этот момент времени равен приблизительно $5,7 \text{ мкКл}$.