Номер 11, страница 169 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

13.3. Изображение предмета в плоском зеркале. 13. Оптика - номер 11, страница 169.

Решение.

Решение 2.

Дано:

На координатной сетке расположены плоское зеркало, предмет (стрелка) и глаз наблюдателя. Примем сторону одной клетки за единицу длины.

Зеркало представляет собой вертикальный отрезок длиной 2 клетки, расположенный вдоль линии $x=0$ от $y=1$ до $y=3$.

Предмет (стрелка) — вертикальный отрезок длиной 2 клетки, расположенный вдоль линии $x=-2$ от $y=1$ до $y=3$.

Начальное положение глаза — точка с координатами $(1, 3)$.

Найти:

На сколько клеток и в каком направлении по вертикали нужно переместить глаз, чтобы изображение стрелки стало видно полностью.

Решение:

Для того чтобы видеть изображение предмета в плоском зеркале, световые лучи от предмета должны отразиться от зеркала и попасть в глаз наблюдателя. Наблюдатель видит мнимое изображение, которое находится за зеркалом на том же расстоянии, что и предмет перед зеркалом.

1. Определим положение мнимого изображения стрелки.

Предмет находится на расстоянии 2 клеток от зеркала (при $x=-2$). Его мнимое изображение будет находиться на расстоянии 2 клеток за зеркалом, то есть при $x=2$. Высота и вертикальное положение изображения будут такими же, как у предмета. Таким образом, мнимое изображение стрелки — это вертикальный отрезок, расположенный вдоль линии $x=2$ от $y=1$ (нижняя точка, $B'$) до $y=3$ (верхняя точка, $A'$). Координаты точек изображения: $A'=(2, 3)$ и $B'=(2, 1)$.

2. Найдем область положений глаза, из которой видна вся стрелка.

Глаз находится на вертикальной линии $x=1$. Обозначим его вертикальную координату как $y_E$. Координаты глаза: $E=(1, y_E)$.

Чтобы видеть какую-либо точку мнимого изображения, прямая, соединяющая глаз и эту точку, должна пересекать поверхность зеркала. Зеркало расположено в пределах от $y=1$ до $y=3$.

3. Условие видимости верхней точки изображения $A'(2, 3)$.

Рассмотрим прямую, проходящую через глаз $E(1, y_E)$ и верхнюю точку изображения $A'(2, 3)$. Найдем, в какой точке по вертикали ($y_{pA}$) эта прямая пересекает плоскость зеркала ($x=0$). Из подобия треугольников имеем:

$\frac{y_E - y_{pA}}{1 - 0} = \frac{3 - y_E}{2 - 1}$

$y_E - y_{pA} = 3 - y_E$

$y_{pA} = 2y_E - 3$

Чтобы луч проходил через зеркало, должно выполняться условие $1 \le y_{pA} \le 3$:

$1 \le 2y_E - 3 \le 3$

$4 \le 2y_E \le 6$

$2 \le y_E \le 3$

Значит, чтобы видеть верхнюю точку изображения, глаз должен находиться в диапазоне высот от 2 до 3.

4. Условие видимости нижней точки изображения $B'(2, 1)$.

Аналогично рассмотрим прямую, проходящую через глаз $E(1, y_E)$ и нижнюю точку изображения $B'(2, 1)$. Найдем ее точку пересечения ($y_{pB}$) с плоскостью зеркала ($x=0$):

$\frac{y_E - y_{pB}}{1 - 0} = \frac{1 - y_E}{2 - 1}$

$y_E - y_{pB} = 1 - y_E$

$y_{pB} = 2y_E - 1$

Чтобы луч проходил через зеркало, должно выполняться условие $1 \le y_{pB} \le 3$:

$1 \le 2y_E - 1 \le 3$

$2 \le 2y_E \le 4$

$1 \le y_E \le 2$

Значит, чтобы видеть нижнюю точку изображения, глаз должен находиться в диапазоне высот от 1 до 2.

5. Найдем положение глаза для видимости всего изображения.

Чтобы видеть изображение стрелки полностью, необходимо, чтобы выполнялись оба условия одновременно. То есть, координата $y_E$ должна принадлежать пересечению двух диапазонов: $[2, 3]$ и $[1, 2]$. Единственная точка, удовлетворяющая обоим условиям, это $y_E = 2$.

Следовательно, чтобы видеть изображение стрелки полностью, глаз должен находиться в точке с координатами $(1, 2)$.

6. Определим необходимое смещение.

Начальное положение глаза: $y_{нач} = 3$.

Конечное положение глаза: $y_{кон} = 2$.

Смещение по вертикали: $\Delta y = y_{кон} - y_{нач} = 2 - 3 = -1$.

Знак "минус" означает смещение вниз. Таким образом, глаз нужно переместить на 1 клетку вниз.

Ответ: глаз следует переместить на 1 клетку вниз.