Вариант 1, страница 51 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-1. Равномерное прямолинейное движение. Самостоятельные работы - страница 51.

Условие.

СР-1. Равномерное прямолинейное движение

Вариант 1

1. На горизонтальном участке дороги автомобиль двигался со скоростью $72 \text{ км/ч}$ в течение $10 \text{ мин}$, а затем проехал подъем со скоростью $36 \text{ км/ч}$ за $20 \text{ мин}$. Какова средняя скорость автомобиля на всем пути?

2. Из города $\text{B}$, находящегося на расстоянии $24 \text{ км}$ от города $\text{A}$ (рис. 57), выехала грузовая автомашина со скоростью $36 \text{ км/ч}$ в направлении города $\text{C}$. В то же время из города $\text{A}$ выехала легковая автомашина в направлении города $\text{C}$ со скоростью $54 \text{ км/ч}$. Через какое время и на каком расстоянии от города $\text{A}$ легковая автомашина догонит грузовую?

A ------ B ------ C

Рис. 57

Решение.

1. На горизонтальном участке дороги автомобиль двигался со скоростью 72 км/ч в течение 10 мин, а затем проехал подъем со скоростью 36 км/ч за 20 мин. Какова средняя скорость автомобиля на всем пути?

Дано:

$v_1 = 72$ км/ч
$t_1 = 10$ мин
$v_2 = 36$ км/ч
$t_2 = 20$ мин

Перевод в систему СИ:

$v_1 = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$
$t_1 = 10 \cdot 60 \text{ с} = 600 \text{ с}$
$v_2 = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}$
$t_2 = 20 \cdot 60 \text{ с} = 1200 \text{ с}$

Найти:

$v_{ср}$ — ?

Решение:

Средняя скорость определяется как отношение всего пройденного пути ко всему времени движения:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Общий путь $S_{общ}$ равен сумме путей, пройденных на горизонтальном участке ($S_1$) и на подъеме ($S_2$).

$S_{общ} = S_1 + S_2$

Общее время $t_{общ}$ равно сумме времени движения на каждом участке:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = 600 \text{ с} + 1200 \text{ с} = 1800 \text{ с}$

Найдем пути, пройденные на каждом участке, по формуле $S = v \cdot t$:

$S_1 = v_1 \cdot t_1 = 20 \text{ м/с} \cdot 600 \text{ с} = 12000 \text{ м}$

$S_2 = v_2 \cdot t_2 = 10 \text{ м/с} \cdot 1200 \text{ с} = 12000 \text{ м}$

Теперь найдем общий путь:

$S_{общ} = 12000 \text{ м} + 12000 \text{ м} = 24000 \text{ м}$ (или 24 км)

Вычислим среднюю скорость:

$v_{ср} = \frac{24000 \text{ м}}{1800 \text{ с}} = \frac{240}{18} \text{ м/с} = \frac{40}{3} \text{ м/с} \approx 13,3 \text{ м/с}$

Для удобства можно выразить ответ в км/ч. Для этого общий путь в км (24 км) разделим на общее время в часах ($t_{общ} = 10 \text{ мин} + 20 \text{ мин} = 30 \text{ мин} = 0,5 \text{ ч}$):

$v_{ср} = \frac{24 \text{ км}}{0,5 \text{ ч}} = 48 \text{ км/ч}$

Ответ: средняя скорость автомобиля на всем пути составляет 48 км/ч (или $\approx 13,3$ м/с).

2. Из города В, находящегося на расстоянии 24 км от города А (рис. 57), выехала грузовая автомашина со скоростью 36 км/ч в направлении города С. В то же время из города А выехала легковая автомашина в направлении города С со скоростью 54 км/ч. Через какое время и на каком расстоянии от города А легковая автомашина догонит грузовую?

Дано:

$S_{AB} = 24$ км
$v_г = 36$ км/ч
$v_л = 54$ км/ч

Перевод в систему СИ:

$S_{AB} = 24 \cdot 1000 \text{ м} = 24000 \text{ м}$
$v_г = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}$
$v_л = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15 \text{ м/с}$

Найти:

$\text{t}$ — ?, $S_A$ — ?

Решение:

Примем город А за начало отсчета (координата 0). Ось направим в сторону города С. Тогда начальная координата легковой автомашины $x_{0л} = 0$, а начальная координата грузовой автомашины $x_{0г} = S_{AB} = 24$ км.

Запишем уравнения движения для обеих машин в общем виде $x(t) = x_0 + v \cdot t$:

Уравнение движения легковой автомашины: $x_л(t) = v_л \cdot t$

Уравнение движения грузовой автомашины: $x_г(t) = S_{AB} + v_г \cdot t$

В момент встречи их координаты будут равны: $x_л(t) = x_г(t)$.

$v_л \cdot t = S_{AB} + v_г \cdot t$

Решим это уравнение относительно времени $\text{t}$:

$v_л \cdot t - v_г \cdot t = S_{AB}$

$t \cdot (v_л - v_г) = S_{AB}$

$t = \frac{S_{AB}}{v_л - v_г}$

Величина $v_л - v_г$ является скоростью сближения легковой и грузовой автомашин.

Подставим числовые значения. В данном случае удобнее производить расчеты в км и км/ч, так как данные представлены в этих единицах.

$t = \frac{24 \text{ км}}{54 \text{ км/ч} - 36 \text{ км/ч}} = \frac{24 \text{ км}}{18 \text{ км/ч}} = \frac{4}{3} \text{ ч}$

Переведем время в часы и минуты: $\frac{4}{3} \text{ ч} = 1 \frac{1}{3} \text{ ч} = 1 \text{ час } + \frac{1}{3} \cdot 60 \text{ мин} = 1 \text{ час } 20 \text{ минут}$.

Теперь найдем расстояние от города А, на котором произойдет встреча. Для этого подставим найденное время $\text{t}$ в уравнение движения легковой автомашины:

$S_A = x_л(t) = v_л \cdot t = 54 \text{ км/ч} \cdot \frac{4}{3} \text{ ч} = 18 \cdot 4 \text{ км} = 72 \text{ км}$

Для проверки можно подставить время в уравнение для грузовой машины:

$S_A = x_г(t) = 24 \text{ км} + 36 \text{ км/ч} \cdot \frac{4}{3} \text{ ч} = 24 \text{ км} + 12 \cdot 4 \text{ км} = 24 \text{ км} + 48 \text{ км} = 72 \text{ км}$

Результаты совпадают.

Ответ: легковая автомашина догонит грузовую через $\frac{4}{3}$ часа (или 1 час 20 минут) на расстоянии 72 км от города А.