Вариант 5, страница 52 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-1. Равномерное прямолинейное движение. Самостоятельные работы - страница 52.

Условие.

Вариант 5

1. Автомобиль проходит первую половину пути со скоростью 70 км/ч, а вторую — со средней скоростью 30 км/ч. Какова его средняя скорость на всем пути?

2. Колонна войск во время похода движется со скоростью 5 км/ч, растянувшись по дороге на расстоянии 400 м. Командир, находящийся в хвосте колонны, посылает велосипедиста с поручением к головному отряду. Велосипедист едет со скоростью 25 км/ч и, на ходу выполнив поручение, сразу же возвращается обратно с той же скоростью. Через какое время после получения поручения он вернулся обратно?

Решение.

1. Дано:

$S_1 = S_2 = S/2$ (первая и вторая половины пути)

$v_1 = 70$ км/ч (скорость на первой половине пути)

$v_2 = 30$ км/ч (скорость на второй половине пути)

Перевод в СИ:

$v_1 = 70 \cdot \frac{1000}{3600} \approx 19.44$ м/с

$v_2 = 30 \cdot \frac{1000}{3600} \approx 8.33$ м/с

Найти:

$v_{ср}$ - средняя скорость на всем пути

Решение:

Средняя скорость вычисляется по формуле: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ - весь пройденный путь, а $t_{общ}$ - всё время движения.

Пусть весь путь равен $\text{S}$. Тогда первая половина пути $S_1 = S/2$, а вторая половина $S_2 = S/2$.

Время, затраченное на прохождение первой половины пути: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$.

Время, затраченное на прохождение второй половины пути: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2v_2}$.

Общее время движения равно сумме времени на каждом участке: $t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2}$.

Приведем к общему знаменателю: $t_{общ} = S \left( \frac{1}{2v_1} + \frac{1}{2v_2} \right) = S \frac{v_2 + v_1}{2v_1v_2}$.

Теперь можем найти среднюю скорость, подставив выражения для общего пути и общего времени в исходную формулу:

$v_{ср} = \frac{S}{t_{общ}} = \frac{S}{S \frac{v_1+v_2}{2v_1v_2}} = \frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$.

Подставим числовые значения в полученную формулу (для удобства можно использовать км/ч, так как размерность сократится):

$v_{ср} = \frac{2 \cdot 70 \text{ км/ч} \cdot 30 \text{ км/ч}}{70 \text{ км/ч} + 30 \text{ км/ч}} = \frac{2 \cdot 2100}{100} \text{ км/ч} = \frac{4200}{100} \text{ км/ч} = 42$ км/ч.

Ответ: 42 км/ч.

2. Дано:

$v_к = 5$ км/ч (скорость колонны)

$L = 400$ м (длина колонны)

$v_в = 25$ км/ч (скорость велосипедиста)

Перевод в СИ:

$v_к = 5 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{50}{36} = \frac{25}{18}$ м/с

$L = 400$ м

$v_в = 25 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{250}{36} = \frac{125}{18}$ м/с

Найти:

$\text{t}$ - общее время движения велосипедиста

Решение:

Общее время движения велосипедиста складывается из времени движения к голове колонны ($t_1$) и времени движения обратно к хвосту ($t_2$).

1. Движение к голове колонны (из хвоста).

Велосипедист догоняет голову колонны. Их относительная скорость (скорость сближения) равна разности их скоростей: $v_{отн1} = v_в - v_к$.

Время, за которое велосипедист преодолеет расстояние, равное длине колонны $\text{L}$, относительно головы колонны, равно: $t_1 = \frac{L}{v_{отн1}} = \frac{L}{v_в - v_к}$.

Подставим значения в системе СИ:

$t_1 = \frac{400 \text{ м}}{\frac{125}{18} \text{ м/с} - \frac{25}{18} \text{ м/с}} = \frac{400}{\frac{100}{18}} = \frac{400 \cdot 18}{100} = 4 \cdot 18 = 72$ с.

2. Движение к хвосту колонны (от головы).

Велосипедист движется навстречу хвосту колонны. Их относительная скорость равна сумме их скоростей: $v_{отн2} = v_в + v_к$.

Время, за которое велосипедист встретит хвост колонны, равно: $t_2 = \frac{L}{v_{отн2}} = \frac{L}{v_в + v_к}$.

Подставим значения в системе СИ:

$t_2 = \frac{400 \text{ м}}{\frac{125}{18} \text{ м/с} + \frac{25}{18} \text{ м/с}} = \frac{400}{\frac{150}{18}} = \frac{400 \cdot 18}{150} = \frac{40 \cdot 18}{15} = \frac{8 \cdot 18}{3} = 8 \cdot 6 = 48$ с.

3. Общее время.

Общее время движения велосипедиста равно сумме времени движения туда и обратно: $t = t_1 + t_2$.

$t = 72 \text{ с} + 48 \text{ с} = 120$ с.

Переведем секунды в минуты: $120 \text{ с} = \frac{120}{60} \text{ мин} = 2$ мин.

Ответ: 120 с (или 2 минуты).