Вариант 4, страница 52 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-1. Равномерное прямолинейное движение - страница 52.

Условие.

Вариант 4

1. Первую половину пути автобус проехал со скоростью 50 км/ч, а вторую — со скоростью 80 км/ч. Определите среднюю скорость его движения.

2. Со станции вышел товарный поезд со скоростью 36 км/ч. Через 30 мин в том же направлении вышел скорый поезд со скоростью 72 км/ч. Через какое время после выхода товарного поезда его нагонит скорый?

Решение.

1. Дано:

Скорость на первой половине пути, $v_1 = 50$ км/ч
Скорость на второй половине пути, $v_2 = 80$ км/ч
Первая половина пути, $S_1 = S/2$
Вторая половина пути, $S_2 = S/2$

$v_1 = 50 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 50 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 13,89 \text{ м/с}$
$v_2 = 80 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 80 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 22,22 \text{ м/с}$

Найти:

Среднюю скорость движения, $v_{ср}$ - ?

Решение:

Средняя скорость вычисляется по формуле:$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — весь пройденный путь, а $t_{общ}$ — всё время движения.
Пусть весь путь равен $\text{S}$. Тогда первая и вторая половины пути равны $S/2$.
Время, затраченное на первую половину пути: $t_1 = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$.
Время, затраченное на вторую половину пути: $t_2 = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2v_2}$.
Общее время движения: $t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2} = S \cdot (\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{2v_2})$.
Теперь можем найти среднюю скорость:
$v_{ср} = \frac{S}{S \cdot (\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{2v_2})} = \frac{1}{\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{2v_2}}$
Приведем знаменатель к общему и упростим выражение:
$v_{ср} = \frac{1}{\frac{v_2 + v_1}{2v_1v_2}} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$
Подставим числовые значения скоростей:
$v_{ср} = \frac{2 \cdot 50 \text{ км/ч} \cdot 80 \text{ км/ч}}{50 \text{ км/ч} + 80 \text{ км/ч}} = \frac{8000}{130} \text{ км/ч} \approx 61,54 \text{ км/ч}$.

Ответ: средняя скорость движения автобуса составляет приблизительно $61,54$ км/ч.

2. Дано:

Скорость товарного поезда, $v_1 = 36$ км/ч
Скорость скорого поезда, $v_2 = 72$ км/ч
Время, через которое вышел скорый поезд, $\Delta t = 30$ мин

$v_1 = 36 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}$
$v_2 = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$
$\Delta t = 30 \text{ мин} = 0,5 \text{ ч} = 1800 \text{ с}$

Найти:

Время $\text{t}$ с момента выхода товарного поезда до момента, когда его нагонит скорый поезд - ?

Решение:

Пусть $\text{t}$ — искомое время, прошедшее с момента отправления товарного поезда. К моменту встречи он пройдет расстояние $S_1 = v_1 \cdot t$.
Скорый поезд вышел на $\Delta t$ позже, поэтому его время в пути до момента встречи будет $(t - \Delta t)$. За это время он пройдет расстояние $S_2 = v_2 \cdot (t - \Delta t)$.
В момент встречи поезда проедут одинаковое расстояние от станции, следовательно, $S_1 = S_2$.
Составим уравнение:
$v_1 \cdot t = v_2 \cdot (t - \Delta t)$
Раскроем скобки и выразим $\text{t}$:
$v_1 t = v_2 t - v_2 \Delta t$
$v_2 \Delta t = v_2 t - v_1 t$
$v_2 \Delta t = (v_2 - v_1) t$
$t = \frac{v_2 \Delta t}{v_2 - v_1}$
Подставим числовые значения, используя часы для времени, чтобы единицы были согласованы:
$t = \frac{72 \text{ км/ч} \cdot 0,5 \text{ ч}}{72 \text{ км/ч} - 36 \text{ км/ч}} = \frac{36 \text{ км}}{36 \text{ км/ч}} = 1 \text{ ч}$.

Ответ: скорый поезд нагонит товарный через $\text{1}$ час после выхода товарного поезда.